Una circonferenza e una retta Una retta e una circonferenza possono avere in comune non più di due punti. Osserviamo le loro posizioni reciproche. • secante se hanno due punti in comune; • tangente se hanno un solo punto in comune;
• esterna quando non hanno alcun punto in comune.
Una retta esterna Retta esterna alla circonferenza: La retta a non ha alcun punto in comune con la circonferenza , con raggio di misura r. In questo caso la distanza OH tra la retta a e il centro O della circonferenza è maggiore del raggio.
Una retta tangente Retta tangente alla circonferenza: La retta a ha un solo punto in comune con la circonferenza di raggio di misura r. Il punto H, in comune, è detto punto di tangenza. La distanza OH tra la retta a e il centro O della circonferenza è congruente al raggio. Il raggio OH è perpendicolare alla retta a nel punto di tangenza H.
Una retta secante Retta secante alla circonferenza:
La retta a ha due punti in comune con la circonferenza di raggio di misura r.
In questo caso la distanza OH tra la retta a e il centro O della circonferenza è minore del raggio.
Tangenti a una circonferenza Tracciamo due tangenti alla circonferenza da un punto P esterno alla circonferenza stessa. Raggio OA
s
Gli angoli PAˆ O e PBˆ O sono retti e i triangoli OBP e OPA sono rettangoli.
Gli angoli sono tra loro congruenti.
BP = PA
Raggio OB
t
e
I segmenti PB e PA detti segmenti di tangenza sono congruenti.
Alcuni esempi La circonferenza qui a fianco ha raggio lungo 5 cm.
Dal punto P, esterno a essa, tracciamo la tangente nel punto A. Il segmento di tangenza PA è lungo 12 cm, calcola la misura della distanza di P dal centro O. Applica il teorema di Pitagora al triangolo OPA retto in A e trova la lunghezza dell’ipotenusa PO:
Prova tu Osserva il disegno qui a fianco.
Il raggio della circonferenza è lungo 10 cm e il segmento di tangenza dal punto P alla circonferenza è lungo 24 cm. Quanto misura la distanza di P dal centro O della circonferenza?
OA = …….. cm
10
AP = …….. cm
24
OP =……..………………………………………………………26 cm
Due circonferenze nello stesso piano Due circonferenze contenute in uno stesso piano possono avere in comune non più di 2 punti. Esaminiamo le possibili posizioni reciproche di due circonferenze. Le circonferenze nel disegno sono esterne l’una all’altra.
Due circonferenze sono esterne l’una all’altra se: • non hanno alcun punto in comune: • la distanza tra i centri è maggiore della somma dei raggi:
Circonferenze tangenti esternamente Le circonferenze nel disegno sono tangenti esternamente. Due circonferenze sono tangenti esternamente se: • hanno un solo punto in comune, detto punto di tangenza: • la distanza tra i centri è congruente alla somma dei raggi:
Circonferenze tangenti internamente Le circonferenze nel disegno sono tangenti internamente. Due circonferenze sono tangenti internamente se: • hanno un solo punto in comune, detto punto di tangenza: • la distanza tra i centri è congruente alla differenza dei raggi:
Due circonferenze si incontrano Le circonferenze nel disegno sono secanti. Due circonferenze sono secanti se: • hanno due punti in comune:
• la distanza tra i centri è minore della somma dei raggi e maggiore della loro differenza:
Una dentro l’altra Le circonferenze nel disegno sono una interna all’altra. Due circonferenze sono una interna all’altra se:
• non hanno alcun punto in comune: • la distanza tra i centri è minore della differenza dei raggi:
In particolare se i due centri coincidono, , le due circonferenze si dicono concentriche.
Esercitati • Completa le scritture con la lettera che indica la retta opportuna a e stabilisci se è esterna, secante o tangente. P d
d
esterna
a
a
tangente
b
b
secante
A
b
B
• Traccia tre rette a, b, c in modo che la retta a incontri la circonferenza in un solo punto T, la retta b la incontri in due punti M e N, e la retta c in nessun punto. N • c Quale tra esse è esterna? ........... c Quale è tangente? .......... a b • M Quale è secante? .......... b T • a
d
Esercitati • Completa le seguenti scritture con >, =, < e stabilisci se la retta è esterna, secante o tangente. tangente; = esterna; > secante; <
• Osserva la figura e barra la casella opportuna. x
x x
Esercitati • Osserva le seguenti figure e riconosci le circonferenze secanti, esterne, tangenti, concentriche.
