DEFINIZIONE DI PROBABILITA’CLASSICA La probabilità classica di un evento A è il numero dei casi favorevoli (casi in cui si verifica A) diviso il numero dei casi possibili, purché tutti siano ugualmente possibili (N.B. vizio della definizione) n casi favorevoli n casi possibili Es: Che probabilità ho di avere un numero pari lanciando il dado? p ( A)
3 — 6
casi in cui si verifica il pari (o dispari) casi possibili
1 = — 2
DEFINIZIONE DI PROBABILITA’ STATISTICA ,O FREQUENTISTA Immaginiamo di poter ripetere un’esperimento che ha fra i suoi possibili risultati l’evento A . Sia n il numero delle prove effettuate e supponiamo che esse siano svolte tutte nelle stesse condizioni e in modo indipendente l’una dall’altra. Diciamo frequenza relativa dell’evento A il rapporto tra m = numero di prove in cui si verifica A e n = numero di prove effettuate: m f ( A) n Supponiamo ora di potere ripetere l’esperimento un numero di volte n grandissimo . Si rileva che il valore della frequenza di A , f(A), tende ad assumere un valore costante che si può ritenere come la probabilità dell’evento A. Ad esempio al crescere del numero di volte che ripetiamo l’esperimento del lancio di un dado , la frequenza relativa dell’evento “esce il numero 3” tende a diventare 1/6. In generale vale la seguente proprietà: Legge empirica del caso Dato un evento A sottoposto ad un numero n di prove tutte nelle stesse condizioni, il valore della m frequenza relativa di A f ( A) tende al valore della probabilità p(A),all’aumentare del numero n n di prove effettuate. Si definisce probabilità statistica di un evento A la frequenza relativa del suo verificarsi quando il numero delle prove effettuato è da ritenersi sufficientemente alto. N.B. le prove devono essere effettuate nelle stesse condizioni ed essere indipendenti l’una dall’altra. PROBLEMA: La ripetibilità dell’esperimento n volte, facendo tendere n→ ∞, rappresenta un problema, in quanto non è detto che un esperimento sia ripetibile nelle stesse identiche condizioni per n volte.
N.B. La probabilità statistica è un valore calcolato “a posteriori” Situazioni in cui è impossibile usare la probabilità classica e si usa quella statistica: la probabilità di incidenti automobilistici la probabilità di vita e di morte la probabilità di furti la probabilità che hanno dei macchinari di produrre pezzi difettosi la probabilità che ha una persona di trovare un posto di lavoro la probabilità di contrarre una certa malattia la probabilità che un farmaco sia efficace
DEFINIZIONE SOGGETTIVA DELLA PROBABILITA’ (Bruno De Finetti) Per gli eventi per i quali non è possibile calcolare teoricamente il numero dei casi favorevoli e possibili , né si può sottoporre l’evento a prove sperimentali ripetute nelle stesse condizioni, si può utilizzare la definizione soggettiva di probabilità. Si usa ad esempio per stimare la probabilità di vittoria di una squadra in un torneo. In generale il calcolo della probabilità di un evento viene considerato come una scommessa. Essa è la misura del grado di fiducia che un individuo coerente assegna al verificarsi di un dato evento in base alle sue conoscenze. Numericamente la probabilità soggettiva di un evento A è il rapporto fra la somma P che una persona è disposta a scommettere sul realizzarsi di A e la somma V che la persona stessa riceverà se l’evento si realizza: P p ( A) V Vediamo un esempio: Ad una corsa di cavalli, una persona è disposta a pagare 90 euro per riceverne 120 in caso di vittoria del cavallo Furia . La probabilità soggettiva dell’evento vittoria del cavallo Furia è : 90/120. Oss: La persona deve però essere disposta a ricevere 90 e dare 120 euro in caso di perdita di Furia.
DEFINIZIONE DI PROBABILITA’ ASSIOMATICA (Kolmogorov) La probabilità assiomatica impone delle regole. Quindi la probabilità si può dare con degli assiomi (o proprietà della probabilità). Diamo le regole della probabilità , non definiamo cosa è. La probabilità assiomatica è una funzione che associa ad ogni evento A un numero reale p in modo da soddisfare i seguenti assiomi: 1) p( A) 0 2) p () 1 3) Se A e B sono due eventi disgiunti (A B=Ø) allora p( A B) p( A) p( B)
