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Programma del Corso di “Analisi Numerica” (A.A. 2004-2005) (C.L. Ingegneria Meccanica n.o. - Canale G-Z) Testi di riferimento: [G] [GL]

L. Gori Calcolo Numerico, (IV Ed.) Ed. Kappa, 1999 L. Gori, M.L. Lo Cascio Esercizi di Calcolo Numerico, (II Ed.) Ed. Kappa, 1999

i. Nozioni Introduttive. Nozioni introduttive. Errori e loro propagazioni. Condizionamento di un problema, stabilità degli algoritmi. [G]

Cap.1: §1.1, §1.2 cenni (significato di arrotondamento), §1.3 (fino a p.7[5]), §1.4, §1.5 (ad una variabile, escluso condizionamento del calcolo di una radice), §1.6.

ii. Richiami su matrici e spazi vettoriali. Richiami sulle matrici: definizioni, proprietà fondamentali (determinante, inversa, rango, matrici simili), operazioni tra matrici e vettori. Matrici particolari (simmetriche, definite positive, ecc…), matrici elementari di trasformazione. Autovalori ed autovettori di matrici, raggio spettrale. Norme di vettori e matrici, escluso norme indotte. Relazione di compatibilità 2.10.8; teorema 2.10.1, matrice convergente e teorema 2.10.2 (senza dimostrazioni). [G]

Cap.2: §2.1÷2.6, §2.8, §2.9; §2.10 fino p.39[-5], enunciato teorema 2.10.1, da p.41 [-3] fino all’enunciato del teorema 2.10.2.

iii. Soluzione di equazioni non lineari. Separazioni delle radici. Metodi iterativi: concetti di base, ordine di convergenza, efficienza computazionale; metodo delle bisezioni (opz. interpretazione geometrica e “regula falsi”). Metodi iterativi ad un punto: concetti di base, teoremi sull’esistenza, la convergenza e l’ordine di convergenza; metodo di Newton-Raphson (modifiche per radici multiple, solo algoritmi), metodo delle secanti con estremo fisso ed estremi variabili (cenni). Criteri di arresto. Sistemi non lineari, metodo di Newton, cenni. [G]

Cap.3: §3.1÷3.3, §3.4 (escluso da p.52[6] a p.53[-7]), §3.5 (escluso il Teorema 3.5.3), §3.6 (esclusa la dim. del Teorema 3.6.2, e fino a p.66[-10], da p.66[-10] a fine paragrafo, solo cenni). §3.7÷3.10 cenni.

Esercizi consigliati: [GL] Cap.1: Esercizi: 1÷11, 13, 14, 18÷26. Cap.7: Testi d’esame: 11, 13, 18, 20, 22, 25, 29, 36, 43. iv. Soluzione di sistemi di equazioni lineari. Generalità e condizionamento dei sistemi lineari. Metodi iterativi: concetti di base, convergenza, velocità asintotica di convergenza, criteri di arresto; metodi di Jacobi, GaussSeidel e di rilassamento (S.O.R.): algoritmi e convergenza (esclusa dimostrazione teorema 4.5.1). Metodi diretti: soluzione di sistemi triangolari, sostituzioni in avanti e all’indietro; eliminazione di Gauss e di Gauss-Jordan, fattorizzazione LU (dimostrazione solo cenni), calcolo del determinante, dell’inversa e del rango di una matrice; formule compatte di fattorizzazione di Banachiewicz-Doolittle e Cholesky, solo algoritmi. [G]

Cap.4: §4.1÷4.6 (esclusa la dim. teorema 4.5.1), §4.9÷4.10, §4.11 (senza dimostrazioni degli algoritmi), §4.12 (escluso algoritmo di Thomas).

Esercizi consigliati: [GL] Cap.2: Esercizi: 1÷5, 10÷26, 29, 30. Cap.7: Testi d’esame: 7, 15, 16, 19, 24, 27, 34, 35, 41, 49, 52.

v. Autovalori ed autovettori. Richiami e proprietà generali, molteplicità geometrica e algebrica. Localizzazione degli autovalori, primo e secondo teorema di Gershgorin (senza dimostrazioni). [G]

Cap.5: §5.1, §5.2, §5.5 (esclusa p.154)

Esercizi consigliati: [GL] Cap.3: Esercizi: 1÷15. Cap.7: Testi d’esame: 2, 26, 37, 45, 50. vi. Approssimazioni di dati e funzioni. Generalità, classi di funzioni e metodi di approssimazione. Interpolazione polinomiale: formule di Lagrange, espressione dell’errore di troncamento (senza ricavarla) ed dell’errore di propagazione, funzione e costante di Lebesgue. Convergenza dei polinomi interpolatori: fenomeno di Runge, teoremi di convergenza (cenni), nodi di Chebyshev. Approssimazione ai minimi quadrati, calcolo dei coefficienti, retta di regressione. [G]

Cap.6: §6.1÷6.3 (escluso da p.189[12] a p.190[7]), §6.10 (escluso teorema 6.10.2), §6.12 (fino a p. 231[-3], p. 233[5]).

Esercizi consigliati: [GL] Cap.3: Esercizi: 1÷12, 20, 21. Cap.7: Testi d’esame: 2, 26, 37, 45, 50. vii. Integrazione numerica. Formule di quadratura: generalità; formule di quadratura interpolatorie: parte approssimante, errore di troncamento e di propagazione; grado di precisione. Formule di Newton-Cotes chiuse: formula del trapezio, e formula di Cavalieri-Simpson; formula di Newton-Cotes aperta (formula del punto centrale). Formule di Newton-Cotes generalizzate, in particolare formula dei trapezi e delle parabole. Criterio di Runge ed estrapolazione di Richardson. Convergenza delle formule di quadratura (solo per le formule di Newton-Cotes). [G]

Cap.7: §7.1÷7.3, 7.4 (solo formule dei trapezi e delle parabole, criterio di Runge), 7.5 (solo estrapolazione di Richardson), 7.9 (concetto di formula di quadratura convergente, teoremi 7.9.1 e 7.9.2 per formule di Newton-Cotes, esempio 7.9.1).

Esercizi consigliati: [GL] Cap.4: Esercizi: 1÷8,10. Cap.7: Testi d’esame: 1, 3, 8÷10, 17, 23, 28 30, 38, 42, 47. viii. Soluzione numerica di equazioni alle derivate ordinarie. Richiami sul problema di Cauchy. Concetti base e generalità sui metodi numerici per la soluzione del problema di Cauchy, metodo di Eulero esplicito, algoritmo e interpretazione geometrica. Generalità dei metodi numerici, metodo di Eulero, Crank-Nicolson e del punto centrale ricavati tramite integrazione. Errori di troncamento, errore propagato; ordine, consistenza, convergenza, stabilità e teorema di LAX. Metodi one-step espliciti: Eulero; metodi Runge-Kutta, (senza dimostrazione delle formule, solo interpretazione geometrica). Convergenza dei metodi one-step espliciti (formula 9.6.6 senza dimostrazione), teorema 9.6.1. Errore di arrotondamento, passo di discretizzazione ottimo. Metodi multi-step: formula del punto centrale. [G]

Cap.9: §9.1÷9.6 (senza dimostrazioni), 9.7 (solo formula del punto centrale).

Esercizi consigliati: [GL] Cap.6: 1÷8, 20. Cap.7: Testi d’esame: 7.39