IL GIARDINO DI ARCHIMEDE

     

IL GIARDINO DI ARCHIMEDE                                         unmuseo         perla[matematica]                                                                                                                                              

PROGRAMMA LEONARDO TOI PROGETTO PIT.AGORA’ Codice CUP : G12F10000140006. Laboratori matematici 

Pitagora e il suo teorema (ludico)

Suggerimenti e spunti per un laboratorio sul teorema di Pitagora e  dintorni. 1.     L'enunciato 2.     Esagoni e stelle 3.     Dimostrazione 4.     Euclide 5.     Euclide secondo 6.     Pappo 7.     Un piccolo approfondimento per i più grandi

Il teorema di Pitagora in gioco. Suggerimenti e spunti per un laboratorio sul teorema di Pitagora e dintorni. Una serie di puzzles introduce alle varie sfaccettature del teorema di Pitagora. Si parte dal  teorema nella sua veste classica, poi lo si generalizza quando invece dei quadrati si usano figure  simili, e infine si passa ai teoremi di Euclide e di Pappo. Tutti questi aspetti sono materializzati in  altrettanti puzzles che introducono un aspetto ludico nel teorema e nella sua dimostrazione, mentre  ne illustrano i vari aspetti.  Finalità. Lo scopo del laboratorio è di fissare giocando alcune nozioni geometriche importanti. In primo  luogo il teorema di Pitagora, il teorema di Euclide che tradizionalmente è propedeutico e una sua  generalizzazione, per molti versi sorprendente, dovuta a Pappo di Alessandria (V secolo d. C.). Il  passaggio dai quadrati agli esagoni e alle stelle permette di introdurre il concetto di figure simili,   riflettere sulla similitudine e in particolare sulla proprietà che le aree di figure simili sono  proporzionali ai quadrati dei lati. Proponiamo qui alcuni suggerimenti per lo svolgimento delle attività. Tracciamo un possibile   percorso, corredato di osservazioni e accorgimenti da tenere presenti nella gestione delle attività.   Queste osservazioni sono il frutto delle esperienze dei laboratori condotti al Museo. Le classi di  riferimento sono le Secondarie inferiori e, con i cambiamenti del caso, possono essere adattati alle  scuole Secondarie superiori, per le quali di tanto in tanto si segnalano degli spunti di  approfondimento.

1. L'enunciato Il laboratorio inizia dall'enunciato del teorema, a cui si riferiscono due puzzles. Se il teorema di Pitagora non è ancora conosciuto dalla classe i puzzles possono essere uno strumento per far arrivare i ragazzi alla sua formulazione. Nel caso invece che esso sia noto, il laboratorio può iniziare chiedendo alla classe di enunciarlo. Come si sa, il teorema di Pitagora può prendere varie forme, di cui le due principali sono espresse una in linguaggio geometrico, l’altra algebricamente. Nel primo caso avremo che In un triangolo rettangolo i quadrati costruiti sui cateti sono equivalenti al quadrato costruito sull’ipotenusa o una formulazione equivalente. Nel secondo potremo dire che In un triangolo rettangolo di cateti a e b e ipotenusa c risulta a2+b2=c2. Qualche volta i ragazzi dimenticano il contesto e ricordano solo la formula a2+b2=c2, e naturalmente bisogna intervenire per precisare. Una via di mezzo parla di aree e dice che In un triangolo rettangolo la somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti è uguale all’area del quadrato costruito sull’ipotenusa. Una volta stabilito che questi enunciati sono equivalenti, possiamo usarne uno qualsiasi (ad esempio il terzo). Ci chiediamo: che cosa significa? Ho tre quadrati in gioco, i cui lati sono date rispettivamente dall’ipotenusa e dai due cateti. Il teorema afferma che il primo che il primo ha la stessa area degli altri due presi insieme. Per verificarlo sperimentalmente (attenzione! non per dimostrarlo) posso agire in vari modi: ad esempio posso misurare i cateti a e b e l’ipotenusa c e verificare che a2+b2=c2. Un altro modo, che è quello che useremo in tutto il laboratorio, consiste nel tagliare il quadrato dell'ipotenusa in un certo numero di pezzi e con tutti questi stessi pezzi formare i quadrati dei cateti. Sto usando qui quella che si chiama equiscomponibilità : se due figure sono composte dagli stessi pezzi disposti diversamente, allora evidentemente hanno la stessa area. Se quindi con i pezzi del quadrato dell’ipotenusa posso costruire i due quadrati dei cateti, vuol dire che queste due figure (il quadrato dell’ipotenusa, i due quadrati dei cateti) sono equivalenti. Qui si può fare una prima osservazione. Non sempre due figure equivalenti sono equiscomponibili; ad esempio si può dimostrare (per chi conosce un po’ di calcolo integrale non è difficile) che le due figure qui sotto, un segmento di parabola e un rettangolo, hanno la stessa area ma non sono equiscomponibili.

Se però le figure in questione sono dei poligoni (o sono composte da poligoni) vale anche il viceversa: due poligoni hanno la stessa area se e solo se sono scomponibili negli stessi pezzi. Da notare – ed eventualmente approfondire che questo risultato non vale per i poliedri: due poliedri equiscomponibili sono ovviamente equivalenti (cioè hanno lo stesso volume) ma non sempre due poliedri equivalenti sono equiscomponibili.  Veniamo allora ai puzzles relativi all'enunciato, il primo di 5 pezzi, il secondo di 7. Con i primi 5 pezzi si possono formare due quadrati piccoli oppure, usando sempre gli stessi 5 pezzi, un unico grande quadrato il cui lato sarà come l'ipotenusa di un triangolo rettangolo che ha come cateti i lati dei due quadrati piccoli. Da notare che questo primo puzzle a soli 5 pezzi, dall'apparenza piuttosto innocua, risulta spesso uno dei più insidiosi: non scoraggiatevi! Ecco, eventualmente, la soluzione:

Il secondo puzzle, a 7 pezzi, è del tutto analogo. Qui, anche se i pezzi sono di più, una certa simmetria aiuta nella ricomposizione. Ecco anche la sua soluzione:

La soluzione di questi puzzles può essere proposta alla classe come gioco di abilità. Si può dividere la classe in due o più squadre (a seconda del numero degli alunni) che in contemporanea o una dopo l'altra si cimentano, cronometrati da arbitri designati, nella loro ricomposizione. Al via le squadre devono prima comporre i quadrati dei cateti: si consiglia di iniziare da questi perché risultano più facili rispetto al quadrato dell'ipotenusa. Poi si passa al quadrato dell'ipotenusa. Vince chi impiega il minor tempo complessivo. 2. Esagoni

e stelle.

Una volta che avrete concluso i giochi del Pitagora classico, o sarete stati costretti a sospenderli promettendo di lasciare a disposizione i puzzles nell'intervallo per riuscire a distogliere coloro che continueranno imperterriti a sfidare l'incompenetrabilità dei corpi, potete passare al passo successivo. Approfittando del fatto che i vostri alunni saranno ben riscaldati dai tentativi sul teorema classico, approfittate per sollecitare un nuovo coro sull'enunciato del teorema (ripetere non fa mai male). Se notate una qualche consapevolezza in più nel mettere una dietro l'altra parole come aree, quadrati, triangoli, cateti ..., e sguardi che cercano nei puzzles affrontati un conforto e un sostegno, ebbene: un primo obiettivo è stato raggiunto! A questo punto, sul classico enunciato, si lancia la nuova sfida: "E se invece io dicessi l'esagono dell'ipotenusa ... ?" Alcune classi hanno già visto l'estensione e i bravi diranno: "Vale per tutti i poligoni regolari". Provate allora ad osare ancora: "E le stelle?"

Se anche queste non stupissero, li spiazzerete dicendo "E se mettessi la figura di un leone?" (o un'altra cosa che vi venga in mente, la meno simmetrica possibile). Qualsiasi figura si scelga (questo in genere colpisce), purché su ogni lato ci si metta la stessa figura opportunamente ingrandita o ridotta in modo da farla adattare ai lati del triangolo, l'enunciato rimane valido. In altre parole ... e qui potete arrischiarvi a ridire la stessa cosa in termini più geometrici, parlando di similitudine invece che ingrandimento (o magari sollecitando loro a tirare fuori la parola similitudine). Dati i tre lati di un triangolo rettangolo, nel caso dell'enunciato classico è facile capire quanto grandi devono essere i tre quadrati in gioco: avranno i lati lunghi rispettivamente come i due cateti e l'ipotenusa. Nella generalizzazione qualcuno potrebbe avere qualche difficoltà in più a capire come ingrandire o ridurre le figure. Nel caso degli esagoni (e più in generale dei poligoni regolari) è ancora abbastanza immediato: anche qui posso prendere tre figure con i lati lunghi rispettivamente come i due cateti e l'ipotenusa. Già nel caso delle stelle è meno evidente. Nel puzzle proposto è la distanza tra due punte, dunque un segmento che “non fa parte” della figura, a dover coincidere di volta in volta con cateti o ipotenusa. In generale posso scegliere un segmento qualsiasi; anche nel caso di quadrati o poligoni regolari non necessariamente un lato, ma ad esempio una diagonale, l'apotema, o qualsiasi altro segmento. La cosa importante è che nelle tre figure si prendano sempre segmenti corispondenti: sempre le diagonali, o sempre le apoteme, o quello che si vuole. Nella figura qui sotto a sinistra i lati del triangolo rettangolo sono uguali a tre segmenti corrispondenti negli esagoni, che si vedono nella figura a destra. Dunque per le tre figure a sinistra vale il teorema di Pitagora: l’area della figura dell’ipotenusa è uguale alla somma delle aree delle figure dei cateti. Naturalmente il teorema vale anche per gli esagoni corrispondenti.

Se la classe vi ha seguito fin qui si può passare al "Perché vale?" e allo spiegare che nelle figure simili le aree sono proporzionali ai quadrati di segmenti corrispondenti e dunque ... si ritorna al teorema di Pitagora classico. In altre parole infatti se abbiamo tre figure simili in cui a, b, c, sono le lunghezze di segmenti corrispondenti (ad esempio i lati di tre esagoni regolari o i tre segmenti nella figura qui sopra), le aree delle tre figure saranno ka2, kb2 e kc2. Se a, b, c sono i cateti e l'ipotenusa di un triangolo rettangolo si avrà a2+b2 =c2. E dunque anche ka2+kb2 =kc2. Eccoci ai puzzles. Il primo propone la versione del teorema di Pitagora con gli esagoni, il secondo con le stelle. Se la gara è piaciuta potete riproporla con le stesse squadre. Di seguito riportiamo le soluzioni.

3. Dimostrazione Non si sa se (e eventualmente come) Pitagora avesse trovato una dimostrazione, ossia un ragionamento che ci convince della validità del “suo” risultato. Ma dopo di lui fioccano le dimostrazioni. Una delle più semplici conosciute è riproposta ancora da un puzzle: si tratta di disporre quattro copie del triangolo rettangolo in questione in un grande quadrato (con il lato uguale alla somma dei cateti) in due modi diversi: nel primo modo deve rimanere scoperto il quadrato dell'ipotenusa, nel secondo modo i quadrati dei due cateti. Essendo il quadrato grande e i quattro triangoli sempre gli stessi, se ne ricava che le figure scoperte nel primo e nel secondo caso hanno la stessa area.

Questa dimostrazione è a volte già nota ai ragazzi che potranno dunque riproporre le due configurazioni. Molto più raramente sapranno spiegare perché dalle due configurazioni si conclude il teorema. Provate a portarceli passo passo: riconoscere i due quadrati piccoli e il quadrato grande, giustificare la loro equivalenza. Per i più grandi (giudicate voi se è il caso) si può anche insinuare il dubbio che

il quadrato dell'ipotenusa (nella prima configurazione) sia proprio un quadrato. Si tratta di un passaggio su cui a volte si sorvola, ma necessario per completare la dimostrazione senza affidarsi solo all'aspetto visivo.            Se dunque si vuole provare che il primo quadrato è effettivamente un quadrato, si può osservare dapprima che ha i quattro lati uguali perché uguali tutti all’ipotenusa del triangolo rettangolo dato. Certamente dunque è un rombo, ma per concludere che sia un quadrato bisogna anche provare che i suoi angoli sono retti. Questo si fa osservando che ognuno degli angoli bianchi è uguale a un angolo piatto meno i due angoli gialli, e che questi, essendo i due angoli di un triangolo rettangolo, formano un angolo retto. Di conseguenza, ogni angolo bianco è retto, e abbiamo effettivamente un quadrato. Si può anche notare che la figura a destra dimostra la formula algebrica (a+b)2 = a2 + b2 + 2ab. Infatti se a e b sono i cateti del triangolo rettangolo, il quadrato grande ha lati a+b e la sua area (a+b)2 è la somma delle aree dei quadrati dei cateti (a2 + b2), più le aree dei due rettangoli con lati a e b. 4. Euclide La più antica dimostrazione nota del teorema di Pitagora è dovuta ad Euclide e si trova nel primo libro degli Elementi. Euclide affrontò un pezzo del problema alla volta e partendo da uno solo dei quadrati dei cateti vide che ... Potete sottoporre a questo punto il puzzle relativo ai vostri ragazzi. Conoscete già il teorema di Euclide? Allora verificatelo. In caso contrario scopritelo con il puzzle. Componendo con i pezzi a disposizione prima il quadrato del cateto e poi il rettangolo che gli è equivalente si verifica che in un triangolo rettangolo, il quadrato costruito su un cateto è equivalente al rettangolo che ha come lati l'ipotenusa e la proiezione del cateto sull'ipotenusa. Attraverso questo risultato Euclide dimostra il teorema di Pitagora. Che succederà infatti se considero anche il quadrato dell'altro cateto?

5. Euclide secondo Facciamo qui una piccola divagazione che riguarda il secondo teorema di

Euclide: In un triangolo rettangolo, il quadrato costruito sull'altezza relativa all'ipotenusa è equivalente al rettangolo che ha per lati le proiezioni dei due cateti sull'ipotenusa. In termini di puzzle il secondo teorema di Euclide ha una decomposizione uguale al primo, ossia un puzzle relativo al primo teorema funziona anche per il secondo e viceversa.

Consideriamo il triangolo rettangolo abc, e sia bd l’altezza sull’ipotenusa ac. Il secondo teorema di Euclide asserisce che il quadrato befd sull’altezza è equivalente al rettangolo adhg, che ha come lati le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa. Consideriamo ora un secondo triangolo rettangolo, che ha l’ipotenusa DC uguale alla proiezione dc del cateto maggiore del triangolo precedente, e un cateto BD uguale all’altezza bd. Il primo teorema di Euclide ci dice che il quadrato del cateto BD è equivalente al rettangolo che ha come lati l’ipotenusa DC e la proiezione DA del cateto BD sull’ipotenusa.

Siccome per costruzione i quadrati bedf e BEDF sono uguali, i rettangoli adhg e DAHG saranno equivalenti. Ma questi rettangoli hanno altezze ag=DG, e quindi anche le basi ad e DA sono uguali. I due rettangoli sono quindi congruenti. Se allora decomponiamo il rettangolo DAHG in modo che i pezzi compongano il quadrato BEDF, la stessa decomposizione funziona anche per il rettangolo adhg e il quadrato bedf. 6. Pappo Una lecita curiosità è data dal chiedersi che cosa succede se il triangolo non è rettangolo. Una domanda che può essere spesso suggerita prendendo spunto dal fatto che nel ripetere l'enunciato qualcuno immancabilmente si dimenticherà di dire che il triangolo debba essere rettangolo. Alcuni secoli dopo Euclide, Pappo di Alessandria (IV sec. d.C.), trovò un analogo del primo teorema di Euclide, in cui però il triangolo ABC non è rettangolo, e al posto del quadrato c’è un arbitrario parallelogramma. Dato il triangolo ABC, costruiamo sul lato AB un parallelogramma ABGF e sul prolungamento del lato FG prendiamo un punto qualsiasi H. Uniamo H con B e prolunghiamo il segmento HB; sul suo prolungamento, che incontra il lato AC in I, prendiamo IL = HB e completiamo il parallelogramma AILM. Il teorema di Pappo dice che il parallelogramma AILM è equivalente al parallelogramma di partenza ABGF. È questo il risultato che viene illustrato dall'ultimo puzzle. Come per il teorema di Euclide, si tratta ancora di verificare l'equivalenza ora tra due parallelogrammi componendo con gli stessi pezzi prima l'uno e poi l'altro dei parallelogrammi indicati. La dimostrazione del teorema di Pappo non è difficile, e si può proporre eventualmente ai più grandi. Il punto cruciale sta nel ricordare che due parallelogrammi che hanno la stessa base e stanno tra le stesse parallele (e dunque hanno la stessa altezza) sono equivalenti. Il trucco per mostrare l'equivalenza consiste nell’aggiungere le linee tratteggiate AP e PQ, e nel considerare il parallelogrammo APQI. Dalla figura si vede subito che i parallelogrammi ABGF e ABHP sono equivalenti, perché hanno la stessa base AB e stanno tra le parallele AB e FH. Allo stesso modo, sono equivalenti i parallelogrammi ABHP e APQI, perché hanno la stessa base AP stanno tra le parallele AP e IH. Di conseguenza, i parallelogrammi ABGF e APQI sono equivalenti. Se ora si osserva che PA è uguale ad HB (sono lati opposti di un parallelogrammo) si conclude che i parallelogrammi APQI e AILM sono uguali, e dunque quest’ultimo è equivalente a ABGF.

Il teorema di Euclide risulta un caso particolare del teorema di Pappo. Infatti se il triangolo ABC è rettangolo e il parallelogramma ABGF è un quadrato, scegliendo H in modo che la retta HB sia perpendicolare all’ipotenusa AC, si ha che il segmento HB è uguale ad AC. Infatti l’angolo GHB è uguale all’angolo ACB (hanno i lati a due a due perpendicolari), gli angoli HGB e ABC sono retti e inoltre i segmenti AB e BG sono uguali (perché ABGF è un quadrato). Il parallelogrammo AILM, che per il teorema di Pappo risulta equivalente al quadrato ABGF, è dunque il rettangolo che ha come lati il segmento IL (che essendo uguale per costruzione ad HB è anche uguale all’ipotenusa AC) e la proiezione AI di AB sull’ipotenusa, come afferma il primo teorema di Euclide. Se poi si costruiscono due parallelogrammi, uno per ciascuno dei due lati, e se come punto H si prende quello in cui si incontrano i prolungamenti dei lati FG e DE, tirando la retta HB e completando la costruzione di Pappo da entrambi i lati, viene a determinarsi il parallelogrammo ACNM, costruito sulla base AC e con il lato AM uguale e parallelo al segmento HB. Il teorema di Pappo ci dice allora che la sua area è uguale alla somma delle aree dei parallelogrammi di partenza. Questa è una generalizzazione del teorema di Pitagora, che si ritrova nel caso particolare in cui il triangolo sia rettangolo e i due parallelogrammi dei quadrati. Infatti in questo caso il segmento HI è perpendicolare ad AC, come si può dimostrare avvalendosi della figura accanto. Il rettangolo HEBG è uguale al rettangolo ABCT, dato che per costruzione HE=AB e BE=BC: Ma allora i triangoli HEB ed ABC, ognuno metà del rispettivo rettangolo, saranno anc’essi uguali, e in particolare saranno uguali gli angoli IHE e CAE.

Dato che HE è perpendicolare ad AE, anche HI sarà allora perpendicolare ad AC. Possiamo allora applicare il teorema di Euclide ai due quadrati ABGF e BCDE, e ottenere il teorema di Pitagora. 7. Un piccolo approfondimento per i più grandi Dal teorema di Pappo segue che in un triangolo acutangolo il quadrato sul lato maggiore (l’ipotenusa nel caso del triangolo rettangolo) è minore della somma dei quadrati degli altri due lati (i cateti, se il triangolo è rettangolo). E se il triangolo è ottusangolo il quadrato sarà maggiore. Prendiamo un triangolo acutangolo ABC, di cui AC è il lato maggiore. Dal vertice B tiriamo la perpendicolare BI ad AC e sul suo prolungamento prendiamo il punto H in modo che HB=AC. Da H tiriamo HF parallela ad AB e HD parallela a BC, e costruiamo i rettangoli ABGF e BCDE. Per il teorema di Pappo, essi saranno equivalenti rispettivamente ai rettangoli AILM e ICNL, e quindi insieme saranno equivalenti al quadrato ACNM. A questo punto chiediamoci: il rettangolo BCDE sarà maggiore o minore del quadrato su BC? Per rispondere tiriamo AQ perpendicolare a BC. Poiché l’angolo γ è acuto, il punto Q cadrà tra C e B. I triangoli AQC e HEB sono uguali; infatti sono rettangoli con HB=AC, e inoltre gli angoli EHB e ACQ sono uguali avendo i lati perpendicolari. Ne deriva che BE=CQ