Kwantowe kody korekcyjne

Wstęp

Kwantowe kody korekcyjne

Teoria kwantowej korekcji błędów

Fault-tolerant quantum computation

Kwantowe kody korekcyjne Patryk Obara

24 maja 2007

Wstęp

Kwantowe kody korekcyjne

Teoria kwantowej korekcji błędów

Fault-tolerant quantum computation

Kody korekcyjne

Po co to? Kody korekcyjne istnieją w celu umożliwienia przesyłu informacji poprzez medium (analogowe lub cyfrowe) podatne na zakłócenia. Aby zabezpieczyć wiadomość kodujemy ją, dodając redundantną informację, a następnie odkodowujemy.

Wstęp

Kwantowe kody korekcyjne

Kody korekcyjne

Teoria kwantowej korekcji błędów

Fault-tolerant quantum computation

Wstęp

Kwantowe kody korekcyjne

Teoria kwantowej korekcji błędów

Fault-tolerant quantum computation

Kody korekcyjne

Prosty kod korekcyjny Zakładamy, że chcemy przesłać 1 bit przez kanał podatny na zakłócenia. Prawdopodobieństwa wystąpienia bit-flip wynosi p.

Wstęp

Kwantowe kody korekcyjne

Teoria kwantowej korekcji błędów

Fault-tolerant quantum computation

Kody korekcyjne

Prosty kod korekcyjny Zakładamy, że chcemy przesłać 1 bit przez kanał podatny na zakłócenia. Prawdopodobieństwa wystąpienia bit-flip wynosi p. 0 → 000 1 → 111

Wstęp

Kwantowe kody korekcyjne

Teoria kwantowej korekcji błędów

Fault-tolerant quantum computation

Kody korekcyjne

Prosty kod korekcyjny Zakładamy, że chcemy przesłać 1 bit przez kanał podatny na zakłócenia. Prawdopodobieństwa wystąpienia bit-flip wynosi p. 0 → 000 1 → 111 Jeśli założymy, że bit-flip wystąpi na co najwyżej jednym bicie to bez trudu możemy rozszyfrować wiadomość.

Wstęp

Kwantowe kody korekcyjne

Teoria kwantowej korekcji błędów

Fault-tolerant quantum computation

Kody korekcyjne

Prosty kod korekcyjny Zakładamy, że chcemy przesłać 1 bit przez kanał podatny na zakłócenia. Prawdopodobieństwa wystąpienia bit-flip wynosi p. 0 → 000 1 → 111 Jeśli założymy, że bit-flip wystąpi na co najwyżej jednym bicie to bez trudu możemy rozszyfrować wiadomość. Prawdopodobieństwo bit-flip na więcej niż jednym bicie wynosi 3p 2 (1 − p) + p 3 czyli prawdopodobieństwo błędu w zaszyfrowanej wiadomości wynosi pc = 3p 2 − 2p 3 , zatem jeśli p < 12 to pc < p.

Wstęp

Kwantowe kody korekcyjne

Teoria kwantowej korekcji błędów

Fault-tolerant quantum computation

Niestety nie możemy postąpić w ten sam sposób z informacją kwantową. No cloning, nie możemy porównać stanów kwantowych

Wstęp

Kwantowe kody korekcyjne

Teoria kwantowej korekcji błędów

Fault-tolerant quantum computation

Niestety nie możemy postąpić w ten sam sposób z informacją kwantową. No cloning, nie możemy porównać stanów kwantowych continuum możliwych błędów na jednym qubicie

Wstęp

Kwantowe kody korekcyjne

Teoria kwantowej korekcji błędów

Fault-tolerant quantum computation

Niestety nie możemy postąpić w ten sam sposób z informacją kwantową. No cloning, nie możemy porównać stanów kwantowych continuum możliwych błędów na jednym qubicie pomiar niszczy informację przechowywaną w stanie qubitu

Wstęp

Kwantowe kody korekcyjne

Teoria kwantowej korekcji błędów

Fault-tolerant quantum computation

The three qubit flip code

bit-flip Chcemy przesłać qubit przez taki kanał, że z prawdopodobieństwem p nastąpi bit-flip czyli: |ψi zmieni się w X |ψi, gdzie X - Pauli sigma operator.

Wstęp

Kwantowe kody korekcyjne

Teoria kwantowej korekcji błędów

Fault-tolerant quantum computation

The three qubit flip code

bit-flip Chcemy przesłać qubit przez taki kanał, że z prawdopodobieństwem p nastąpi bit-flip czyli: |ψi zmieni się w X |ψi, gdzie X - Pauli sigma operator. a|0i + b|1i → a|000i + b|111i

Wstęp

Kwantowe kody korekcyjne

Teoria kwantowej korekcji błędów

Fault-tolerant quantum computation

The three qubit flip code

bit-flip Chcemy przesłać qubit przez taki kanał, że z prawdopodobieństwem p nastąpi bit-flip czyli: |ψi zmieni się w X |ψi, gdzie X - Pauli sigma operator. a|0i + b|1i → a|000i + b|111i

Wstęp

Kwantowe kody korekcyjne

Teoria kwantowej korekcji błędów

Fault-tolerant quantum computation

The three qubit flip code

Pomiar syndromu błędu Wykonujemy częściowy pomiar za pomocą projektora, w celu sprawdzenia, czy wystąpił błąd.

Wstęp

Kwantowe kody korekcyjne

Teoria kwantowej korekcji błędów

Fault-tolerant quantum computation

The three qubit flip code

Pomiar syndromu błędu Wykonujemy częściowy pomiar za pomocą projektora, w celu sprawdzenia, czy wystąpił błąd. P0 P1 P2 P3

= |000ih000| + |111ih111| = |100ih100| + |011ih011| = |010ih010| + |101ih101| = |001ih001| + |110ih110|

Wstęp

Kwantowe kody korekcyjne

Teoria kwantowej korekcji błędów

Fault-tolerant quantum computation

The three qubit flip code

Pomiar syndromu błędu Wykonujemy częściowy pomiar za pomocą projektora, w celu sprawdzenia, czy wystąpił błąd. P0 P1 P2 P3

= |000ih000| + |111ih111| = |100ih100| + |011ih011| = |010ih010| + |101ih101| = |001ih001| + |110ih110|

Przyjmijmy, że bit-flip wystąpił na pierwszym qubicie: X |ψi = a|100i + b|011i

Wstęp

Kwantowe kody korekcyjne

Teoria kwantowej korekcji błędów

Fault-tolerant quantum computation

The three qubit flip code

Pomiar syndromu błędu Wykonujemy częściowy pomiar za pomocą projektora, w celu sprawdzenia, czy wystąpił błąd. P0 P1 P2 P3

= |000ih000| + |111ih111| = |100ih100| + |011ih011| = |010ih010| + |101ih101| = |001ih001| + |110ih110|

Przyjmijmy, że bit-flip wystąpił na pierwszym qubicie: X |ψi = a|100i + b|011i w tym przypadku: hψ|P1 |ψi = 1 zatem pomiar wyznacza nam błąd, jaki wystąpił.

Wstęp

Kwantowe kody korekcyjne

Teoria kwantowej korekcji błędów

Fault-tolerant quantum computation

The three qubit flip code

Pomiar syndromu błędu Wykonujemy częściowy pomiar za pomocą projektora, w celu sprawdzenia, czy wystąpił błąd. P0 P1 P2 P3

= |000ih000| + |111ih111| = |100ih100| + |011ih011| = |010ih010| + |101ih101| = |001ih001| + |110ih110|

Przyjmijmy, że bit-flip wystąpił na pierwszym qubicie: X |ψi = a|100i + b|011i w tym przypadku: hψ|P1 |ψi = 1 zatem pomiar wyznacza nam błąd, jaki wystąpił. Pi - bit flip na i-tym qubicie zakodowanej informacji

Wstęp

Kwantowe kody korekcyjne

Teoria kwantowej korekcji błędów

Fault-tolerant quantum computation

The three qubit flip code

Pomiar syndromu błędu Wykonujemy częściowy pomiar za pomocą projektora, w celu sprawdzenia, czy wystąpił błąd. P0 P1 P2 P3

= |000ih000| + |111ih111| = |100ih100| + |011ih011| = |010ih010| + |101ih101| = |001ih001| + |110ih110|

Przyjmijmy, że bit-flip wystąpił na pierwszym qubicie: X |ψi = a|100i + b|011i w tym przypadku: hψ|P1 |ψi = 1 zatem pomiar wyznacza nam błąd, jaki wystąpił. Pi - bit flip na i-tym qubicie zakodowanej informacji Pomiar syndromu błędu nie nie powoduje zmiany stanu qubitu.

Wstęp

Kwantowe kody korekcyjne

Teoria kwantowej korekcji błędów

Fault-tolerant quantum computation

The three qubit flip code

Korekcja błędu Zależnie od błędu, który wykryliśmy naprawiamy stan qubitu.

Wstęp

Kwantowe kody korekcyjne

Teoria kwantowej korekcji błędów

Fault-tolerant quantum computation

The three qubit flip code

Korekcja błędu Zależnie od błędu, który wykryliśmy naprawiamy stan qubitu. Analogicznie jak do przykładu dla klasycznej informacji, prawdopodobieństwo błędu wynosi pc = 3p 2 − 2p 3 , zatem jeśli p < 12 to pc < p.

Wstęp

Kwantowe kody korekcyjne

Teoria kwantowej korekcji błędów

Fault-tolerant quantum computation

The three qubit flip code

Korekcja błędu Zależnie od błędu, który wykryliśmy naprawiamy stan qubitu. Analogicznie jak do przykładu dla klasycznej informacji, prawdopodobieństwo błędu wynosi pc = 3p 2 − 2p 3 , zatem jeśli p < 12 to pc < p. Niestety, są błędy których w ten sposób nie poprawimy . . .

Wstęp

Kwantowe kody korekcyjne

Teoria kwantowej korekcji błędów

Fault-tolerant quantum computation

The three qubit phase flip code

phase-flip Chcemy przesłać qubit przez taki kanał, że z prawdopodobieństwem p nastąpi phase-flip czyli a|0i + b|1i przejdzie w a|0i − b|1i.

Wstęp

Kwantowe kody korekcyjne

Teoria kwantowej korekcji błędów

Fault-tolerant quantum computation

The three qubit phase flip code

phase-flip Chcemy przesłać qubit przez taki kanał, że z prawdopodobieństwem p nastąpi phase-flip czyli a|0i + b|1i przejdzie w a|0i − b|1i.

Wstęp

Kwantowe kody korekcyjne

Teoria kwantowej korekcji błędów

Fault-tolerant quantum computation

The three qubit phase flip code

Pomiar i korekcja phase-flip Pomiar oraz poprawienie błędu znów zachodzi analogicznie, z tym że teraz dodatkowo posługujemy się bramkami Hadamarda.

Wstęp

Kwantowe kody korekcyjne

Teoria kwantowej korekcji błędów

Fault-tolerant quantum computation

The three qubit phase flip code

Pomiar i korekcja phase-flip Pomiar oraz poprawienie błędu znów zachodzi analogicznie, z tym że teraz dodatkowo posługujemy się bramkami Hadamarda. Pj → H ⊗3 Pj H ⊗3

Wstęp

Kwantowe kody korekcyjne

Teoria kwantowej korekcji błędów

Fault-tolerant quantum computation

The three qubit phase flip code

Pomiar i korekcja phase-flip Pomiar oraz poprawienie błędu znów zachodzi analogicznie, z tym że teraz dodatkowo posługujemy się bramkami Hadamarda. Pj → H ⊗3 Pj H ⊗3 prawdopodobieństwo wystąpienia błędu liczymy analogicznie. . .

Wstęp

Kwantowe kody korekcyjne

Teoria kwantowej korekcji błędów

Fault-tolerant quantum computation

kod Shora

Złożenie bit-flip i phase-flip Skoro potrafimy zabezpieczyć się przed bit-flip i phase-flip to czemu nie przed oboma?

Wstęp

Kwantowe kody korekcyjne

Teoria kwantowej korekcji błędów

Fault-tolerant quantum computation

kod Shora

Złożenie bit-flip i phase-flip Skoro potrafimy zabezpieczyć się przed bit-flip i phase-flip to czemu nie przed oboma? |0i → |1i →

(|000i+|111i)(|000i+|111i)(|000i+|111i) √ 2 2 (|000i−|111i)(|000i−|111i)(|000i−|111i) √ 2 2

Wstęp kod Shora

Kwantowe kody korekcyjne

Teoria kwantowej korekcji błędów

Fault-tolerant quantum computation

Wstęp

Kwantowe kody korekcyjne

Teoria kwantowej korekcji błędów

Fault-tolerant quantum computation

kod Shora

Podsumowanie kodu Shora Dowolny błąd możemy wyrazić jako bit-flip i phase-flip!

Wstęp

Kwantowe kody korekcyjne

Teoria kwantowej korekcji błędów

Fault-tolerant quantum computation

kod Shora

Podsumowanie kodu Shora Dowolny błąd możemy wyrazić jako bit-flip i phase-flip! Zatem kod Shora może naprawić dowolny z continuum różnych błędów, jakie mogą pojawić się na qubicie.

Wstęp

Kwantowe kody korekcyjne

Teoria kwantowej korekcji błędów

Fault-tolerant quantum computation

kod Shora

Podsumowanie kodu Shora Dowolny błąd możemy wyrazić jako bit-flip i phase-flip! Zatem kod Shora może naprawić dowolny z continuum różnych błędów, jakie mogą pojawić się na qubicie. Zakładaliśmy, że błąd może się pojawić na co najwyżej jednym qubicie zakodowanej informacji, oraz że bramki kodujące nie wprowadzają nowych błędów.

Wstęp

Kwantowe kody korekcyjne

Teoria kwantowej korekcji błędów

Fault-tolerant quantum computation

Założenia

Kod Shora jest prostym przykładem na to, że kodowanie informacji kwantowej jest możliwe.

Wstęp

Kwantowe kody korekcyjne

Teoria kwantowej korekcji błędów

Fault-tolerant quantum computation

Założenia

Kod Shora jest prostym przykładem na to, że kodowanie informacji kwantowej jest możliwe. W takim razie spróbujmy to zgeneralizować, abyśmy mieli jakąś podstawę do konstruowania nowych kodów korekcyjnych. za pomocą operacji unitarnych kodujemy stan układu kwantowego (czyli przekształcamy przestrzeń Hilberta w podprzestrzeń większej przestrzeni Hilberta). po zakodowaniu informacja jest podatna na przekłamania

Wstęp

Kwantowe kody korekcyjne

Teoria kwantowej korekcji błędów

Fault-tolerant quantum computation

Założenia

Kod Shora jest prostym przykładem na to, że kodowanie informacji kwantowej jest możliwe. W takim razie spróbujmy to zgeneralizować, abyśmy mieli jakąś podstawę do konstruowania nowych kodów korekcyjnych. za pomocą operacji unitarnych kodujemy stan układu kwantowego (czyli przekształcamy przestrzeń Hilberta w podprzestrzeń większej przestrzeni Hilberta). po zakodowaniu informacja jest podatna na przekłamania rozpoznajemy błąd który wystąpił i zależnie od tego, co wykryliśmy – naprawiamy informację.

Wstęp

Kwantowe kody korekcyjne

Teoria kwantowej korekcji błędów

Fault-tolerant quantum computation

Założenia

Aby móc rozpoznać błąd, każdy z możliwych syndromów błędów powinien być mapowany na osobną podprzestrzeń przestrzeni Hilberta.

Wstęp

Kwantowe kody korekcyjne

Teoria kwantowej korekcji błędów

Fault-tolerant quantum computation

Założenia

Aby móc rozpoznać błąd, każdy z możliwych syndromów błędów powinien być mapowany na osobną podprzestrzeń przestrzeni Hilberta. Dodatkowo, te podprzestrzenie powinny być ortogonalne, abyśmy mogli dokładnie zaklasyfikować błąd

Wstęp

Kwantowe kody korekcyjne

Teoria kwantowej korekcji błędów

Fault-tolerant quantum computation

Założenia

Przygotowując możliwie jak najbardziej ogólną teorię powinniśmy robić jak najmniej założeń dotyczących błędów, jakie mogą wystąpić oraz procedury jaka będzie wykorzystywana do poprawy tych błędów.

Wstęp

Kwantowe kody korekcyjne

Teoria kwantowej korekcji błędów

Fault-tolerant quantum computation

Założenia

Przygotowując możliwie jak najbardziej ogólną teorię powinniśmy robić jak najmniej założeń dotyczących błędów, jakie mogą wystąpić oraz procedury jaka będzie wykorzystywana do poprawy tych błędów. Przekłamanie informacji będziemy oznaczać jako operację E.

Wstęp

Kwantowe kody korekcyjne

Teoria kwantowej korekcji błędów

Fault-tolerant quantum computation

Założenia

Przygotowując możliwie jak najbardziej ogólną teorię powinniśmy robić jak najmniej założeń dotyczących błędów, jakie mogą wystąpić oraz procedury jaka będzie wykorzystywana do poprawy tych błędów. Przekłamanie informacji będziemy oznaczać jako operację E. Operację korekcji błędu będziemy oznaczać jako R.

Wstęp

Kwantowe kody korekcyjne

Teoria kwantowej korekcji błędów

Fault-tolerant quantum computation

Założenia

Przygotowując możliwie jak najbardziej ogólną teorię powinniśmy robić jak najmniej założeń dotyczących błędów, jakie mogą wystąpić oraz procedury jaka będzie wykorzystywana do poprawy tych błędów. Przekłamanie informacji będziemy oznaczać jako operację E. Operację korekcji błędu będziemy oznaczać jako R. R musi się udać z prawdopodobieństwem 1, zatem musi być [trace-preserving].

Wstęp

Kwantowe kody korekcyjne

Teoria kwantowej korekcji błędów

Fault-tolerant quantum computation

Założenia

Przygotowując możliwie jak najbardziej ogólną teorię powinniśmy robić jak najmniej założeń dotyczących błędów, jakie mogą wystąpić oraz procedury jaka będzie wykorzystywana do poprawy tych błędów. Przekłamanie informacji będziemy oznaczać jako operację E. Operację korekcji błędu będziemy oznaczać jako R. R musi się udać z prawdopodobieństwem 1, zatem musi być [trace-preserving]. (R ◦ E)(ρ) ∝ ρ

Wstęp

Kwantowe kody korekcyjne

Teoria kwantowej korekcji błędów

Fault-tolerant quantum computation

quantum error-correction conditions

Warunek 1 Niech C będzie kodem kwantowym, i niech P będzie projektorem na C . E jest operacją kwantową o elementach {Ei }. Operator R naprawiający E na C istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy: PEi† Ej P = αij P dla jakiejś macierzy Hermitowskiej α liczb zespolonych.

Wstęp

Kwantowe kody korekcyjne

Teoria kwantowej korekcji błędów

Fault-tolerant quantum computation

quantum error-correction conditions

Warunek 2 (Discretization of errors) Załóżmy, że C jest kodem kwantowym i R jest operacją naprawiającą błąd E o elementach {Ei }. Przyjmijmy, że F jest operacją kwantową o elementach {Fi } które są kokombinacją P liniową elementów z {Ei }, czyli Fj = imji Ei dla pewnej macierzy liczb zespolonych mi j. Wówczas R poprawia również wszelkie błędy wywołane przez błąd F na kodzie C .

Wstęp

Kwantowe kody korekcyjne

Teoria kwantowej korekcji błędów

Fault-tolerant quantum computation

fault-tolerance

Obliczenia odporne na błędy Podstawą do obliczeń kwantowych odpornych na błędy jest przeprowadzanie obliczeń bezpośrednio na zakodowanych stanach tak, aby ich dekodowanie między kolejnymi bramkami nie było potrzebne.

Wstęp

Kwantowe kody korekcyjne

Teoria kwantowej korekcji błędów

Fault-tolerant quantum computation

fault-tolerance

Obliczenia odporne na błędy Podstawą do obliczeń kwantowych odpornych na błędy jest przeprowadzanie obliczeń bezpośrednio na zakodowanych stanach tak, aby ich dekodowanie między kolejnymi bramkami nie było potrzebne. Rozwiązujemy to zastępując każdy element układu kwantowego wersjami odpornymi na błędy oraz dodatkowo dokonując korekt między bramkami.

Wstęp

Kwantowe kody korekcyjne

Teoria kwantowej korekcji błędów

Fault-tolerant quantum computation

fault-tolerance

Obliczenia odporne na błędy Podstawą do obliczeń kwantowych odpornych na błędy jest przeprowadzanie obliczeń bezpośrednio na zakodowanych stanach tak, aby ich dekodowanie między kolejnymi bramkami nie było potrzebne. Rozwiązujemy to zastępując każdy element układu kwantowego wersjami odpornymi na błędy oraz dodatkowo dokonując korekt między bramkami. Wymaga to jednak nadal bardzo ostrożnego projektowania procedur odpornych na błędy w ten sposób, aby błąd wewnątrz takiego układu powodował błędy na małej ilości qubitów wyjścia.

Wstęp

Kwantowe kody korekcyjne

Teoria kwantowej korekcji błędów

Fault-tolerant quantum computation

fault-tolerance

Odporność na błędy Definiujemy odporność (fault-tolerance) procedury jako następującą własność: jeśli jeden z komponentów procedury zawodzi, to powoduje to co najwyżej jeden błąd w każdym z zakodowanych bloków qubitów wyjściowych.

Wstęp

Kwantowe kody korekcyjne

Teoria kwantowej korekcji błędów

Fault-tolerant quantum computation

fault-tolerance

Odporność na błędy Definiujemy odporność (fault-tolerance) procedury jako następującą własność: jeśli jeden z komponentów procedury zawodzi, to powoduje to co najwyżej jeden błąd w każdym z zakodowanych bloków qubitów wyjściowych. Przez komponent rozumiemy każdy element z jakiego budujemy układ kwantowy czyli: podatne na zakłócenia bramki, urządzenia pomiarowe, połączenia między bramkami oraz urządzenia przygotowujące stan.

Wstęp

Kwantowe kody korekcyjne

Teoria kwantowej korekcji błędów

Fault-tolerant quantum computation

fault-tolerance

Odporność na błędy Definiujemy odporność (fault-tolerance) procedury jako następującą własność: jeśli jeden z komponentów procedury zawodzi, to powoduje to co najwyżej jeden błąd w każdym z zakodowanych bloków qubitów wyjściowych. Przez komponent rozumiemy każdy element z jakiego budujemy układ kwantowy czyli: podatne na zakłócenia bramki, urządzenia pomiarowe, połączenia między bramkami oraz urządzenia przygotowujące stan. Podczas analizy prawdopodobieństwa z jakim błędy propagują się poprzez bramki możemy założyć, że korzystamy z idealnych bramek (nie rozróżniamy błędów ze względu na miejsce w którym się pojawiły).

Wstęp

Kwantowe kody korekcyjne

Teoria kwantowej korekcji błędów

Fault-tolerant quantum computation

fault-tolerance

Odporne układy kwantowe Stworzenie odpornych układów kwantowych implementujących operacje unitarne na zakodowanych stanach jest możliwe.

Wstęp

Kwantowe kody korekcyjne

Teoria kwantowej korekcji błędów

Fault-tolerant quantum computation

fault-tolerance

Odporne układy kwantowe Stworzenie odpornych układów kwantowych implementujących operacje unitarne na zakodowanych stanach jest możliwe. Takie odporne układy realizowane są przez symulowane bramki co do których mamy pewność, że z prawdopodobieństwem O(p 2 ) wprowadzają błąd w jednym bloku zakodowanej informacji (gdzie p oznacza prawdopodobieństwo, z jaką zawodzą pojedyńcze elementy układu.

Wstęp

Kwantowe kody korekcyjne

Teoria kwantowej korekcji błędów

Fault-tolerant quantum computation

fault-tolerance

Analizujemy, z jakim prawdopodobieństwem C-NOT wprowadzi 2 lub więcej błędów na bloku wyjściowym. błąd może dotrzeć spoza układu. Zakładając, że błąd może pojawić się z prawdopodobieństwem co p (dla stałej co zależnej od poprzedniego bezpiecznego układu, z którego pochodzi sygnał) niezależnie na każdym bloku, to prawdopodobieństwo, że dostaniemy błędy w obu blokach wynosi co2 p 2 .

Wstęp

Kwantowe kody korekcyjne

Teoria kwantowej korekcji błędów

Fault-tolerant quantum computation

fault-tolerance

Analizujemy, z jakim prawdopodobieństwem C-NOT wprowadzi 2 lub więcej błędów na bloku wyjściowym. błąd może dotrzeć spoza układu. Zakładając, że błąd może pojawić się z prawdopodobieństwem co p (dla stałej co zależnej od poprzedniego bezpiecznego układu, z którego pochodzi sygnał) niezależnie na każdym bloku, to prawdopodobieństwo, że dostaniemy błędy w obu blokach wynosi co2 p 2 . jeden błąd dociera do bezpiecznej bramki C-NOT (zakodowanej Steanem) i jeden błąd jest wprowadzony przez C-NOT. Prawdopodobieństwo wynosi c1 p 2 , c1 to stała zależna od liczby par qubitów z różnych bloków na których mogą pojawić się błędy i użytego kodu.

Wstęp

Kwantowe kody korekcyjne

Teoria kwantowej korekcji błędów

Fault-tolerant quantum computation

fault-tolerance

dwa błędy wprowadzone są przez C-NOT, prawdopodobieństwo wynosi c2 p 2 , c2 to stała zależna tylko od liczby par qubitów z różnych bloków.

Wstęp

Kwantowe kody korekcyjne

Teoria kwantowej korekcji błędów

Fault-tolerant quantum computation

fault-tolerance

dwa błędy wprowadzone są przez C-NOT, prawdopodobieństwo wynosi c2 p 2 , c2 to stała zależna tylko od liczby par qubitów z różnych bloków. błąd pojawia się w C-NOT i podczas pomiaru syndromu błędu, prawdopodobieństwo wynosi c3 p 2 .

Wstęp

Kwantowe kody korekcyjne

Teoria kwantowej korekcji błędów

Fault-tolerant quantum computation

fault-tolerance

dwa błędy wprowadzone są przez C-NOT, prawdopodobieństwo wynosi c2 p 2 , c2 to stała zależna tylko od liczby par qubitów z różnych bloków. błąd pojawia się w C-NOT i podczas pomiaru syndromu błędu, prawdopodobieństwo wynosi c3 p 2 . dwa błędy pojawiają się podczas pomiaru, prawdopodobieństwo: c4 p 2 .

Wstęp

Kwantowe kody korekcyjne

Teoria kwantowej korekcji błędów

Fault-tolerant quantum computation

fault-tolerance

dwa błędy wprowadzone są przez C-NOT, prawdopodobieństwo wynosi c2 p 2 , c2 to stała zależna tylko od liczby par qubitów z różnych bloków. błąd pojawia się w C-NOT i podczas pomiaru syndromu błędu, prawdopodobieństwo wynosi c3 p 2 . dwa błędy pojawiają się podczas pomiaru, prawdopodobieństwo: c4 p 2 . jeden błąd podczas pomiaru i jeden podczas korekcji błędu, prawdopodobieństwo: c5 p 2 .

Wstęp

Kwantowe kody korekcyjne

Teoria kwantowej korekcji błędów

Fault-tolerant quantum computation

fault-tolerance

dwa błędy wprowadzone są przez C-NOT, prawdopodobieństwo wynosi c2 p 2 , c2 to stała zależna tylko od liczby par qubitów z różnych bloków. błąd pojawia się w C-NOT i podczas pomiaru syndromu błędu, prawdopodobieństwo wynosi c3 p 2 . dwa błędy pojawiają się podczas pomiaru, prawdopodobieństwo: c4 p 2 . jeden błąd podczas pomiaru i jeden podczas korekcji błędu, prawdopodobieństwo: c5 p 2 . dwa błędy pojawiają się podczas korekcji, prawdopodobieństwo: c6 p 2 .

Wstęp

Kwantowe kody korekcyjne

Teoria kwantowej korekcji błędów

Fault-tolerant quantum computation

fault-tolerance

Taki C-NOT już jest fajny! Dla odpornego układu C-NOT prawdopodobieństwo wywołania błędu na dwóch lub więcej qubitach wyjściowych wynosi cp 2 dla pewnej (dużej) stałej c = c02 + c1 + c2 + c3 + c4 + c5 + c6 .

Wstęp

Kwantowe kody korekcyjne

Teoria kwantowej korekcji błędów

Fault-tolerant quantum computation

fault-tolerance

Taki C-NOT już jest fajny! Dla odpornego układu C-NOT prawdopodobieństwo wywołania błędu na dwóch lub więcej qubitach wyjściowych wynosi cp 2 dla pewnej (dużej) stałej c = c02 + c1 + c2 + c3 + c4 + c5 + c6 . Dla kodów Steana: c ≈ 104 .

Wstęp

Kwantowe kody korekcyjne

Teoria kwantowej korekcji błędów

Fault-tolerant quantum computation

fault-tolerance

Składanie kodów Kluczem do zbudowania rzeczywiście działających odpornych układów jest rekursywne kodowanie już zakodowanej informacji.

Wstęp

Kwantowe kody korekcyjne

Teoria kwantowej korekcji błędów

Fault-tolerant quantum computation

fault-tolerance

Składanie kodów Kluczem do zbudowania rzeczywiście działających odpornych układów jest rekursywne kodowanie już zakodowanej informacji. Najpierw rekursywnie kodujemy qubity wejściowe, następnie wszystkie bramki z oryginalnego układu zastępujemy ich bezpieczymi wersjami.

Wstęp

Kwantowe kody korekcyjne

Teoria kwantowej korekcji błędów

Fault-tolerant quantum computation

fault-tolerance

Składanie kodów Kluczem do zbudowania rzeczywiście działających odpornych układów jest rekursywne kodowanie już zakodowanej informacji. Najpierw rekursywnie kodujemy qubity wejściowe, następnie wszystkie bramki z oryginalnego układu zastępujemy ich bezpieczymi wersjami. Głębokość rekursji zależy od dokładności z jaką chcemy dokonywać obliczeń kwantowych.

Wstęp

Kwantowe kody korekcyjne

Teoria kwantowej korekcji błędów

Fault-tolerant quantum computation

fault-tolerance

Składanie kodów c.d. Przyjmijmy, że symulujemy układ posiadający p(n) bramek (n wielkość wejścia). Jeśli chcemy uzyskać dokładność  symulowanego algorytmu, musimy symulować każdą z bramek z  dokładnością p(n) , więc musimy dokonać konkatenacji kodów k razy:

Wstęp

Kwantowe kody korekcyjne

Teoria kwantowej korekcji błędów

Fault-tolerant quantum computation

fault-tolerance

Składanie kodów c.d. Przyjmijmy, że symulujemy układ posiadający p(n) bramek (n wielkość wejścia). Jeśli chcemy uzyskać dokładność  symulowanego algorytmu, musimy symulować każdą z bramek z  dokładnością p(n) , więc musimy dokonać konkatenacji kodów k razy: (cp)2 c

k

¬

 p(n)

Wstęp

Kwantowe kody korekcyjne

Teoria kwantowej korekcji błędów

Fault-tolerant quantum computation

fault-tolerance

Składanie kodów c.d. Przyjmijmy, że symulujemy układ posiadający p(n) bramek (n wielkość wejścia). Jeśli chcemy uzyskać dokładność  symulowanego algorytmu, musimy symulować każdą z bramek z  dokładnością p(n) , więc musimy dokonać konkatenacji kodów k razy: (cp)2 c

Jeśli p <

1 c

to istnieje takie k.

k

¬

 p(n)

Wstęp

Kwantowe kody korekcyjne

Teoria kwantowej korekcji błędów

Fault-tolerant quantum computation

fault-tolerance

Składanie kodów c.d. Przyjmijmy, że symulujemy układ posiadający p(n) bramek (n wielkość wejścia). Jeśli chcemy uzyskać dokładność  symulowanego algorytmu, musimy symulować każdą z bramek z  dokładnością p(n) , więc musimy dokonać konkatenacji kodów k razy: (cp)2 c

k

¬

 p(n)

Jeśli p < c1 to istnieje takie k. Układ symulujący obliczenie ma wówczas określoną wielkość. . .

Wstęp

Kwantowe kody korekcyjne

Teoria kwantowej korekcji błędów

Fault-tolerant quantum computation

Treshold theorem

Twierdzenie o progu Układ kwantowy zbudowany z p(n) bramek może być symulowany wykorzystując O(poly (log ( p(n)  )p(n)) bramek z prawdopodobieństwem wystąpienia błędu co najwyżej , zakładając że sprzęt zawodzi z prawdopodobieństwem co najwyżej p, gdzie p jest mniejsze od pewnego ustalonego progu, p < pth .