Liczby pierwsze — rozmieszczenie

Liczby pierwsze — rozmieszczenie

Liczby pierwsze — rozmieszczenie

Rozmieszczenie liczb pierwszych def P Wprowadzamy funkcję π(x) = p¬x 1, — liczbę liczb pierwszych nie przekraczających x. Łatwo sprawdzić: π(12) = 5 (2, 3, 5, 7, 11); π(17) = 7 (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17). Jeszcze wielki Gauss zaproponował dwie formuły (przybliżone) dla funkcji π(x), obie zresztą na podstawie wniosków z numerycznych obliczeń (bez dowodu). Pierwsza z nich to tzw. Prime Number Theorem – PNT, sformułowany ok. 1800 roku, nad dowodem którego biedzili się Wielcy Matematycy: Legendre, Czebyszew, Sylvester, Riemann, a które udowodnili (niezależnie) z końcem 19. wieku Hadamard i de la Val´ee-Poussin (1896). To absolutnie fundamentalne twierdzenie mówi, że funkcja π(x) jest asymptotycznie równoważna funkcji x/ ln x:

lim

x→∞

π(x) x = 1. ln x

Liczby pierwsze — rozmieszczenie

Rozmieszczenie liczb pierwszych, c.d. Drugi pomysł Gaussa (sformułowany w r. 1792 – przez 15-letniego G.) polegał na aproksymacji funkcji π(x) tzw. całką logarytmiczną Li(x) π(x) = 1. x→∞ Li(x) lim

Sama funkcja Li(x) to wartość główna całki Z x dt Li(x) = P.V. . 0 ln t W użyciu jest też nieco inna (prostsza) definicja Z x dt ; Li(x) = ln t 2 Obie funkcje różnią się o Li(2) = 1, 0451 . . ., co – przy olbrzymich wartościach x jakie nas naprawdę interesują nie ma znaczenia. Dla x ¬ 106 przybliżenie π(x) przez Li(x) jest nie do końca satysfakcjonujące – względne różnice (zwłaszcza dla małych x) sięgają kilku procent. Ale dla x większych przybliżenie staje się znakomite; np. dla x = 1020 względna różnica to 10−10 . Liczby pierwsze — rozmieszczenie

Rozmieszczenie liczb pierwszych – funkcja Riemanna R(x) =

∞ X µ(n)  1/n  Li x , n n=1

gdzie µ(n) to funkcja Moebiusa (0, ±1). n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

bR(10n )c bR(10n )c − π(10n ) 5 1 26 1 168 0 1227 −2 9587 −5 78527 29 664667 88 5761552 97 50847455 −79 455050683 −1828 4118052495 −2318 37607910542 −1476 Liczby pierwsze — rozmieszczenie

Tw. Lejeune-Dirichlet’a rozpatrzmy ciąg liczb pierwszych: 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, . . . Czy taki ciąg p = 4n − 1 zawiera nieskończenie wiele liczb pierwszych? Odpowiedź (twierdzącą, oczywiście!) na to pytanie da nam schemat Euklidesa: załóżmy, że taki ciąg jest skończony i składa się z liczb pierwszych p1 , p2 , . . . pk Utwórzmy N = 4p1 p2 . . . pk − 1 = 4P − 1. Taka liczba nie będzie podzielna przez żadne z pi ; albo jest pierwsza, albo ma dzielniki pierwsze typu 4n ± 1; przynajmniej jeden z nich musi być z minusem (bo iloczyn 4n + 1 i 4m + 1 też jest postaci 4k + 1 – a mamy 4P − 1) i jest większy od pk .  Analogiczny dowód możemy przeprowadzić dla postępu arytmetycznego typu 6n − 1; uogólniając mamy . . . . . . twierdzenie Lejeune-Dirichleta Każdy postęp arytmetyczny typu an + b; a ⊥ b, n = 0, 1, 2, . . . zawiera w sobie nieskończenie wiele liczb pierwszych. Liczby pierwsze — rozmieszczenie

. . . twierdzenie o wielomianie Żaden wielomian o współczynnikach całkowitych f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + . . . + ar−1 xr−1 + ar xr nie może przyjmować wartości będących wyłącznie liczbami pierwszymi, dla dowolnych wartości zmiennej x. n → n + tp. Policzmy   f (n + tp) − f (n) = ar [(n + tp)r − nr ] + ar−1 (n + tp)r−1 − nr−1 + . . .   · · · +a2 (n + tp)2 − n2 + a1 [(n + tp) − n] .

przypuśćmy, że dla x = n mamy f (n) = p.

Nasz ulubiony wzór na potęgę dwumianu pozwala nam stwierdzić, że prawa strona tej równości jest podzielna przez p; oczywiście p | f (n); a więc p | f (n + tp). Oznacza to, że f (n + tp) jest liczbą złożoną (chyba, że f (n + tp) = ±p, albo f (n + tp) = 0, ale . . . wielomian stopnia r może przyjąć tą samą wartość tylko r razy, a na wartość t mamy nieskończenie wiele możliwości!  Liczby pierwsze — rozmieszczenie

Bywają jednak ciekawe wielomiany! Na przykład wielomian f (x) = x2 − x + 41 generuje liczby pierwsze dla wszystkich x większych od lub równych zeru, a mniejszych od (oczywiste) 41. a wielomian f (x) = x2 − 79x + 1601 generuje liczby pierwsze dla wszystkich x większych od lub równych zeru, a mniejszych od 80.

Liczby pierwsze — rozmieszczenie

W 1742 roku Christian Goldbach, pochodzący z Królewca niemiecki matematyk, znany (głównie) ze swojej wieloletniej korespondencji z Eulerem, „postawił” hipotezę, funkcjonująca od tego czasu w teorii liczb pod nazwą . . . . . . hipotezy Goldbacha 1

Każda liczba parzysta, większa od 4, może być przedstawiona w postaci sumy dwóch nieparzystych liczb pierwszych.

2

Każda liczba nieparzysta, większa od 7, może być przedstawiona w postaci sumy trzech nieparzystych liczb pierwszych.

Dzisiaj hipotezę (jasne jest, że z jej pierwszej części – zwanej zwykle „hipotezą Goldbacha” – powinna wynikać druga, zwana „małą hipotezą G.”) formułuje się nieco „silniej”: . . . silne hipotezy Goldbacha 1

Każda liczba parzysta, większa od 6, może być przedstawiona w postaci sumy dwóch różnych liczb pierwszych nieparzystych.

2

Każda liczba nieparzysta, większa od 17, może być przedstawiona w postaci sumy trzech różnych liczb pierwszych nieparzystych. Liczby pierwsze — rozmieszczenie

Z hipotezy Goldbacha wynika . . . twierdzenie Czebyszewa Dla każdej liczby naturalnej n > 1 pomiędzy n a 2n leży co najmniej jedna liczba pierwsza Rzeczywiście: liczba 2n + 2 jest większa od 4 i zgodnie z hipotezą Goldbacha 2n + 2 = p + q. Porządkujemy: 3 ¬ p ¬ q. Stąd: q < 2n i jednocześnie . . . 2n + 2 ¬ 2q → q > n. Znaleźliśmy więc liczbę pierwszą pomiędzy n a 2n.

Liczby pierwsze — rozmieszczenie



Po 265 latach hipoteza Goldbacha . . . pozostaje hipotezą. Owszem, odniesiono parę sukcesów: Winogradow (1937) udowodnił, że każda dostatecznie duża liczba naturalna może być przedstawiona w postaci sumy trzech różnych liczb pierwszych. a jeszcze wcześnie wspaniały duet angielskich matematyków Hardy i Littlewood (wspomagani przez genialnego Ramanujana) udowodnili mniej więcej to samo, ale w oparciu o . . . inną hipotezę (Riemanna, dotyczącą zer zespolonych funkcji dzeta). Dzisiaj, najlepszy wynik w tym festwialu hipotez należy do chińskiego specjalisty Chena (1933-1996): każda dostatecznie duża liczba naturalna parzysta może być przedstawiona w postaci sumy liczby pierwszej i liczby będącej iloczynem co najwyżej dwóch liczb pierwszych.

Liczby pierwsze — rozmieszczenie

Funkcja dzeta Riemanna Jest to funkcja określona wzorem ∞ X 1 ζ(s) = . s n n=1

Dla s = 1 szereg jest rozbieżny; ζ(2) = π 2 /6 (tę dręczącą od stuleci matematyków sumę policzył brawurowo Euler i ogólnie (−1)n−1 22n−1 B2n π 2n ζ(2n) = ; 2n!

); ζ(4) = π 4 /90

gdzie B2n to liczby Bernoulliego. Dzeta Riemanna jest w zasadzie funkcją zmiennej zespolonej: s = σ + iτ . Jej związek z liczbami pierwszymi wynika z wzoru zwanego iloczynem Eulera; dla części rzeczywistej argumentu σ > 1 mamy ζ(s) =

Y p

1 1−

1 ps

.

Liczby pierwsze — rozmieszczenie