Obiettivi formativi

Programma del corso di Analisi Matematica I (9 CFU) Primo credito. Elementi di teoria degli insiemi. Insiemi numerici. Estremi di un insieme numerico. Topologia della retta. Numeri complessi. Generalità sulle funzioni. Funzioni numeriche. Proprietà elementari delle funzioni. Grafico di una funzione. Operazioni sulle funzioni e trasformazione dei grafici. Funzioni elementari. Secondo credito. Definizione di limite di funzioni reali di variabile reale. Teoremi di unicità del limite, del confronto e della permanenza del segno. Teorema sui limiti di funzioni monotone. Operazioni sui limiti e forme indeterminate. Limiti notevoli. Asintoti. Infiniti e infinitesimi e loro confronto. Principio di sostituzione degli infinitesimi e degli infiniti. Terzo credito. Funzioni continue. Punti di discontinuità. Continuità delle funzioni composte e delle funzioni inverse. Teorema di esistenza degli zeri. Teorema dei valori intermedi. Radici di un’equazione: metodi grafici per la ricerca. Funzioni continue su un intervallo chiuso e limitato. Teorema di Weierstrass. Continuità uniforme. Quarto credito. Definizione di derivata e suo significato geometrico e cinematico. Retta tangente al grafico. Derivate delle funzioni elementari e regole di derivazione. Derivabilità e continuità. Massimi e minimi relativi. Teoremi di Fermat, Rolle, Cauchy e Lagrange e loro interpretazione geometrica. Monotonia e derivabilità. Funzioni a derivata nulla. Punti singolari, angolosi, a tangente verticale e cuspidi. Quinto credito. Differenziale e approssimazione lineare. Derivate successive. Teoremi di de l’Hôpital. Formula di Taylor e di McLaurin. Espressioni del resto. Approssimazione di funzioni mediante polinomi. Limiti con la formula di Taylor. Sesto credito. Funzioni convesse e concave. Punti di flesso. Proprietà fondamentali. Funzioni lipschitziane. Studio del grafico di una funzione. Problemi applicati di massimo e minimo. Settimo credito. L’integrale di Riemann per funzioni di una variabile. Interpretazione geometrica. Proprietà dell'integrale definito. Teorema della media. Integrale indefinito e sue proprietà. Funzioni integrali. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Metodi elementari per la ricerca di una primitiva: integrazione immediata, per scomposizione in somma e per sostituzione. Integrazione per parti. Ricerca di primitive per alcune classi di funzioni: razionali, trigonometriche e irrazionali. Ottavo credito. Integrali impropri o generalizzati. Esempi fondamentali. Teorema del confronto. Criterio del confronto asintotico. Modelli differenziali. Equazioni differenziali a variabili separabili e lineari del primo ordine. Nono credito. Successioni numeriche. Limite di una successione. Teoremi di unicità del limite, della permanenza del segno e del confronto. Teorema “ponte” e non esistenza dei limiti. Calcolo dei limiti. Teorema di esistenza del limite per una successione monotona. Serie numeriche. Esempi fondamentali: la serie geometrica, di Mengoli, armonica e armonica generalizzata. Criterio di Cauchy per la convergenza di una seria. Condizione necessaria per la convergenza di una seria. Serie a termini di segno costante. Criterio del confronto, della radice e del rapporto. Serie assolutamente convergenti. Serie a termini di segno alterno. Criterio di Leibniz. Cenni alle equazioni alle differenze.

Programma del corso di Analisi Matematica II (6 CFU) Primo credito. Funzioni reali di più variabili reali. Elementi di topologia nel piano e nello spazio. Limite e continuità. Teorema di esistenza degli zeri. Teorema di Weierstrass. Derivate parziali. Derivate successive. Teorema di Schwarz. Gradiente. Differenziale. Funzioni composte. Derivate direzionali. Formula di Taylor del secondo ordine. Massimi e minimi relativi Teorema di Fermat. Condizioni sufficienti per un estremo relativo. Massimi e minimi assoluti. Funzioni implicite. Teorema del Dini. Retta tangente a una curva piana. Massimi e minimi vincolati. Metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Secondo credito. Integrali doppi e tripli. Integrale di funzioni continue. Volume di un cilindroide. Formule di riduzione per gli integrali doppi. Cambiamento di variabili negli integrali doppi. Formule di riduzione per gli integrali tripli. Cambiamento di variabili negli integrali tripli. Volume di un solido di rotazione. Primo Teorema di Guldino. Calcolo di baricentri e momenti d’inerzia. Terzo credito. Elementi di calcolo vettoriale. Curve regolari. Lunghezza di una curva. Curve orientate. Ascissa curvilinea. Integrale curvilineo di una funzione. Forme differenziali. Integrale di una forma differenziale. Campi vettoriali. Campi conservativi e potenziale. Lavoro di un campo conservativo. Linguaggio delle forme differenziali. Quarto credito. Superfici regolari. Piano tangente e versore normale. Area di una superficie. Integrali di superficie. Secondo teorema di Guldino. Formula di Gauss-Green nel piano. Calcolo dell’area di un dominio regolare. Area del settore polare. Teorema della divergenza e formula di Stokes. Formula di integrazione per parti. Quinto credito. Integrale generale di un’equazione differenziale. Problema di Cauchy e ai limiti. Esistenza e unicità, locale e globale. Il teorema di Cauchy di esistenza e unicità locale e globale. Dipendenza continua dai dati iniziali. Proprietà generali delle equazioni differenziali lineari. Equazioni differenziali lineari del secondo ordine. Metodo di somiglianza. Metodo di variazione delle costanti. Sesto credito. Successioni di funzioni: convergenza puntuale ed uniforme. Teoremi della continuità, della derivabilità e del passaggio al limite sotto il segno di integrale. Serie di funzioni. Convergenza puntuale, uniforme e totale. Integrazione e derivazione per serie. Serie di potenze. Serie di Taylor. Serie di Fourier.

Testi di riferimento:  Ajroldi Vasconi, E. Grassini Raffaglio, F. Buzzetti, Esercizi di Analisi Matematica I, (Parte I e II)vMasson, 1993, Milano.  A. Alvino, L. Carbone, G. Trombetti, Esercitazioni di Matematica I, vol. I, Liguori Editori, Napoli.  M. Bertsch, R. Dal Passo, L. Giacomelli, Analisi Matematica, McGraw-Hill, Milano 2007.  M. Bramanti C. D. Pagani S. Salsa, Matematica, calcolo infinitesimale e algebra lineare, Zanichelli, 2004 Bologna.  N. Fusco, P. Marcellini, C. Sbordone, Elementi di Analisi Matematica due, Liguori Editore 2001  P. Marcellini, C. Sbordone, Esercizi di Analisi Matematica Vol. I e Vol. II (parti I e II), Edit. Liguori  C. D. Pagani S. Salsa, Analisi Matematica, vol. I e II Masson, 1993 Milano. Modalità d’esame: L’esame consta di una prova scritta e di una prova orale e di eventuali prove in itinere (facoltative).