Ristlõike inertsimoment Euler`i piirsaledus terasele S355

TUGEVUSÕPETUS MASINAELEMENTIDE ja PEENMEHAANIKA ÕPPETOOL

NÕTKE: Dimensioneerimine

Priit Põdra

NÕTKE: Dimensioneerimine

1

1. Algandmed ja ülesande püstitus

Priit Põdra

1.1. Ruut-ristlõikega sammas F = 40 kN

Dimensioneerida sammas: arvutada varda vähim sobiv ristlõike küljepikkus (täpsusega +/- 5 mm)

L = 3000 mm

Arvestama peab surutud detaili saledusest tulenevat nõtkeohtu

Priit Põdra

Koormus: F = 40 kN Ristlõige: ruut seinapaksusega 8 mm Materjal: ehitusteras S355 Nõutav varutegur (piirkoormuse suhtes): [s] = 4 Materjali elastsusmoodul: E = 210 GPa NÕTKE: Dimensioneerimine

3

1.2. Ruut-ristlõige Varda ristlõige

F = 40 kN

a b

a

L = 3000 mm

b

8

Arvutada ristlõike vähim küljepikkus a! Priit Põdra

NÕTKE: Dimensioneerimine

4

2. Surutud varda suurim saledus

Priit Põdra

2.1. Varda saleduse näitajad (1) Arvutusskeemid

Varda saledused

x

LE,xy

 xy 

x F F

 zx 

iz

LE,zx iy

Nõtkepikkus xy peatasandis

i y  iz

L

L

Inertsiraadius telje z suhtes Saledus xy peatasandis

Varda ristlõige a b

y Priit Põdra

z

NÕTKE: Dimensioneerimine

8

b

y

a

Varras nõtkub selles peatasandis, milles tema nõtkepikkus (ja saledus) on suurim

z 6

2.1. Varda saleduse näitajad (2) Varda kinnitusviisid

m=1

m = 0,5

m=2

m = 0,5

m = 0,7

Varda pikkuse redutseerimistegur m näitab, mitu varda pikkust L mahub varda telje sinusoidi poolperioodile Priit Põdra

NÕTKE: Dimensioneerimine

7

2.2. Varda nõtkeohtlik peatasand Arvutusskeem x

Kuna

m zx  m xy

Arvutusskeem

i y  iz

, siis

LE,zx  LE,xy

x

F

F

zx  xy

L

L

Piirseisundis varras nõtkub zx peatasandis

Nõtkrohtlik peatasand on zx

y Priit Põdra

mxy = 0,5

mzx = 0,7 NÕTKE: Dimensioneerimine

z

8

2.3. Varda ohtlik saledus

A



Iz A

A  a 2  b 2  4t a  t 

a 4 b 4 a 4  a  2t  I  Iy  Iz    12 12 12

4

Inertsiraadius i on mõõtme a keerukas funktsioon

a b

t

Varda nõtkepikkus ohtlikus peatasandis

LE,zx  m zx L  0,7  3  2,1 m

Priit Põdra

LE,zx iy



a

2,1 4

y z

Varda ohtlik saledus

   zx 

8

a

i  i y  iz 

Iy

Ristlõike pindala

Ristlõike inertsimoment

b

Ristlõike inertsiraadius



 a  2t  / 12 4t a  t  4

NÕTKE: Dimensioneerimine

Saledus  on mõõtme a keerukas funktsioon 9

3. Varda ristlõike mõõtmed

Priit Põdra

3.1. Kriitilise koormuse olemus Varda KRIITILINE KOORMUS = koormus, mille ületamise korral varda juhuslikule hälbele tasakaaluasendist teoreetiliselt järgneb stabiilsuse kadumine ja kiire purunemine x F

L

Kriitilise koormuse arvutus põhineb Euler’i ülesandel

z Priit Põdra

NÕTKE: Dimensioneerimine

11

3.2. Kriitilise koormuse valemi valik

E 

2 2 E

sy

Euler’i piirsaledus terasele S355 Purunemispinge sCr

Euler’i piirsaledus terasele S355



2   2  210 109   6 355 10  108,0  108

FCr  As y

Euler’i valem

 2E FCr  A 2 

sy

Johnson’i valem

Tüsedad vardad

Tüsedate varraste korral nõtke oht puudub ning tugevusarvutus tuleb teha survele Priit Põdra

Euler’i valem

´”Keskmised” vardad

E

Varda saledus  Saledad vardad

Johnson’i valem Kui

  E

, siis

NÕTKE: Dimensioneerimine

 2   FCr  As y 1  s y 2 4 E   12

3.3. Nõtke praktiline piirkoormus Katsetest on teada, et vardad nõtkuvad Euler’i ja Johnson’i kriitilistest koormustest väiksemate koormuste mõjudes Nõtke praktiline piirkoormus

FLim

FCr  n

Selle koormuse mõjudes varras teoreetiliselt puruneb nõtkel Kriitilise koormuse alanemise tegur

sCr

Selle koormuse mõjudes varras tegelikult puruneb nõtkel

Purunemispinge

Kriitilise koormuse alanamise tegur

Euler’i valem

Kui

Kui

  E

, siis

, siis

n  1,92

5 3 3 n   3 3 8E 8E

American Institute of Steel Construction (AISC) praktilised soovitused

sy

  E

Johnson’i valem

  E Priit Põdra

  E

E

Varda saledus  Dimensioneerimine NÕTKE:

Kirjanduses esineb metoodikaid, kus kriitilise koormuse alanemise tegurit ei kasutata 13

3.4. Nõtketegur Nõtketegur

s Lim FLim 1 FCr    sy As y n Aσ y

Jõud, mille korral varras puruneb nõtkel

FLim

FCr   As y n

x F

Tegur, mis näitab kuimitu korda on nõtkepurunemisele vastav survepinge väiksem materjali voolepiirist survel

  E

, siis

1  2 E 1 2E  Kui   E , siis   2 n s y n 2 2 Kui

Priit Põdra

  10

, siis

 1

   L

Kui

1 2  1  2   1  s y 2   1  2 n 4 E  n  2E

Nõtketeguri  väärtus: • on piirides 0 <   1 • sõltub saledusest • sõltub materjalist

NÕTKE: Dimensioneerimine

z

14

3.5. Varda dimensioneerimise metoodika Varda ohtlik saledus



a

2,1 4

PROBLEEMID: • Varda saledus  on mõõtme a keerukas funktsioon • Kuna ei ole teada saleduse  väärtus, siis ei ole ka teada kumba valemit kasutada piirkoormuse FLim (või piirpinge sLim) arvutamiseks



 a  2t  / 12 4t a  t  4

Lihtsam on ristlõike sobivad mõõtmed arvutada ”proovimise” teel x

1. Valida ristlõike mõõde a

F

2. Arvutada varda saledus  ja nõtketegur  3. Arvutada nõtke varutegur S L

Ei

Ei

4. Kas tugevustingimus kehtib?

5. Kas tugevusvaru on vähim?

z

Priit Põdra

NÕTKE: Dimensioneerimine

15

3.6. Ristlõike mõõtmete esimene määrang Kuna

0    1 , siis ristlõike mõõtmete suurusjärgu ligikaudseks määramiseks võib eeldada, et   0,5 Ristlõike ligikaudne pindala

Nõtke piirkoormus

FLim  As y

Ristlõike pindala

a

a

b

8

Ristlõike küljepikkus

A 9,02 t   0,8  3,61  4,0 cm 4t 4  0,8

a

y z Priit Põdra

A  a 2  b 2  4t a  t 

b

t

F S 

40  103  4 6 2 2 A    901 , 4  10 m  9 , 02 cm s y s y 0,5  355 106 FLim

Nüüd tuleb kontrollida varda stabiilsust, kui a = 4 cm NÕTKE: Dimensioneerimine

16

3.7. Varda kontroll nõtkele, kui a = 4 cm (1) Ristlõike inertsimoment

Varda inertsiraadius

a 4  a  2t  4 4  4  2  0,8 I   18,56  18,6 cm4 12 12 4

4

i

I 18,6   1,350  1,35 cm A 10,2

Ristlõike pindala

A  4t a  t   4  0,8  4  0,8  10,24  10,2 cm2

Varda ohtlik saledus

Euler’i piirsaledus terasele S355: E  108



LE,zx i



210  155,5  156 1,35

Kriitilise koormuse alanemise tegur Kuna

  156  E  108 , siis

n  1,92

Väsimusarvutustes tuleb lähtuda Euler’i valemist Priit Põdra

NÕTKE: Dimensioneerimine

17

3.7. Varda kontroll nõtkele, kui a = 4 cm (2) Nõtketegur

1 2E 1 1082     0,124  0,12 2 2 n 2 1,92 2  156

Tugevuskontroll nõtkele

S

As y F

0,12  10,2  104  355 106   1,08  1,1  S   4 3 40  10

F

F  40 kN L3m L

Nõtke varutegur

x

40

Varras ristlõike küljepikkusega 4 cm EI OLE piisavalt stabiilne 40

8

Priit Põdra

Ristlõike küljepikkust tuleb suurendada NÕTKE: Dimensioneerimine

z

18

3.8. Varda kontroll nõtkele, kui a = 6 cm (1) Ristlõike inertsimoment

Varda inertsiraadius

a 4  a  2t  6 4  6  2  0,8 I   76,76  76,8 cm4 12 12 4

4

i

I 76,8   2,150  2,15 cm A 16,6

Ristlõike pindala

A  4t a  t   4  0,8  6  0,8  16,64  16,6 cm2 Euler’i piirsaledus terasele S355: E  108

Varda ohtlik saledus



LE,zx i



210  97,67  97,7 2,15

Kriitilise koormuse alanemise tegur Kuna

3 3 5 3   5 3  97 , 7 97 , 7   97,7  E  108 , siis n    3     1,913  1,91 3 3 8E 8E 3 8  108 8  108

Väsimusarvutustes tuleb lähtuda Johnson’i valemist Priit Põdra

NÕTKE: Dimensioneerimine

19

3.8. Varda kontroll nõtkele, kui a = 6 cm (2) Nõtketegur

 1  97,7 2      0,309  0,31  1  2   1,91  2  108 

Nõtke varutegur

Tugevuskontroll nõtkele

S

As y F



4

0,31 16,6  10  355 10  4,56  4,5  S   4 3 40  10 6

x F

F  40 kN L3m L

1 2   1  2 n  2E

60

Varras ristlõike küljepikkusega 6 cm ON piisavalt stabiilne 60

8

Priit Põdra

Ristlõike küljepikkust võiks vähendada NÕTKE: Dimensioneerimine

z

20

3.9. Varda kontroll nõtkele, kui a = 5,5 cm (1) Ristlõike inertsimoment

Varda inertsiraadius

a 4  a  2t  5,5 4  5,5  2  0,8 I   56,97  57,0 cm4 12 12 4

4

i

I 57,0   1,949  1,95 cm A 15,0

Ristlõike pindala

A  4t a  t   4  0,8  5,5  0,8  15,04  15,0 cm2 Euler’i piirsaledus terasele S355: E  108

Varda ohtlik saledus



LE,zx i



210  107,6  108 1,95

Kriitilise koormuse alanemise tegur Kuna   108  E , siis n  1,92 Väsimusarvutustes tuleb lähtuda Euler’i valemist Priit Põdra

NÕTKE: Dimensioneerimine

21

3.9. Varda kontroll nõtkele, kui a = 5,5 cm (2) Nõtketegur

1 2E 1 1082     0,260  0,26 2 2 n 2 1,92 2  108

Tugevuskontroll nõtkele

S

As y F



4

0,26  15,0  10  355 10  3,46  3,4  S   4 3 40  10 6

F

F  40 kN L3m L

Nõtke varutegur

x

55

Varras ristlõike küljepikkusega 5,5 cm EI OLE piisavalt stabiilne 55

8

Priit Põdra

Ristlõike küljepikkust peab suurendama NÕTKE: Dimensioneerimine

z

22

4. Tulemus

Priit Põdra

Materjal: ehitusteras S355 Varutegur: [s] = 4

Stabiilne varras Tegelik olukord

Piirseisund nõtkel F = 180 kN

F = 40 kN

Varda piirkoormus

FLim  FS  40  4,5  180 kN Varras on stabiilne, kui ristlõike küljepikkus on 6 cm

L = 3000 mm

8

60

L = 3000 mm

60

Varda varutegur nõtkel S = 4,5 Priit Põdra

NÕTKE: Dimensioneerimine

24