1. Korzystając z tablic trwania życia wyznacz prawdopodobieństwa

matematyka w ubezpieczeniach III rok matematyki finansowej lista 4

1. Korzystając z tablic trwania życia wyznacz prawdopodobieństwa następujących zdarzeń (a) (20) przeżyje jeszcze co najmniej rok; (b) dożycie 3 roku życia; (c) (90) dożyje 100 lat; (d) (15) przeżyje jeszcze co najmniej 50 lat; (e) (50) przeżyje dokładnie 2 lata (umrze pomiędzy 52 a 53 rokiem życia); (f) (30) nie dożyje 31 urodzin; (g) (80) przeżyje dokładnie 5 lat; (h) (15) umrze w wieku 30 lat; (i) (35) nie dożyje 45 urodzin; (j) (65) umrze przed osiągnięciem 70 roku życia. 2. Niech X ∼ U [0, ω] oraz l0 = 100000, obliczyć lx oraz dx dla x = 1, . . . , ω. 1

3. Mając dane lx = (115 − x) 2 dla 0 ≤ x ≤ 115 obliczyć prawdopodobieństwo, że osoba w wieku 34 lat umrze miedzy 66 a 79 rokiem życia. 4. Korzystając tylko z wartości umieszczonych w tablicy zycia w kolumnie px wyznacz prawdopodobieństwa zdarzenia plegającego na tym, że losowo wybrany a) (15) przeżyje co najmniej 3 lata; b) (20) przeżyje co najmniej 2 lata; c) (12) nie dożyje 14 roku życia; d) (70) nie dożyje 74 urodzin; e) noworodek nie dożyje wieku 5 lat. 5. Niech X będzie zmienna losową o dystrybuancie F (x) = 1 − e−λx a) obliczyć ilość zgonów pomiędzy 45 a 50 rokiem życia przyjmując l0 = 100000; b) pokazać, że qx = qx+1 = qx+2 = . . . 6. Znaleźć lx , jeśli l0 = 1000 oraz µt = at. 7. Dla populacji (l0 = 100000) noworodków w której s(10) = 0, 971, 0, 990 obliczyć

15 p10

= 0, 986 oraz

a) oczekiwaną liczbę osób, które dożyją wieku 25 lat; b) oczekiwaną liczbę zgonów pomiędzy wiekiem 10 a 15 lat; c) prawdopodobieństwo, że (10) umrze pomiędzy 15 a 25 rokiem życia.

10 p15

=

8. Jakim funduszem trzeba dysponować w chwili obecnej, aby obiecać grupie 1000 osób w wieku 35 lat płatności w wysokości 1j.p., które zostaną dokonane za 20 lat tym osobom, które dożyją 55 roku życia? Założyć stopę procentową w wysokości i = 5%. hipotezy interpolacyjne 9. Zakładając UDD pokazać, że ◦

a) ex = ex + 12 ; b) V ar(T ) = V ar(K) +

1 . 12

10. Mając dane q50 = 0, 02 oraz q51 = 0, 03, obliczyć przy założeniu HCFM.

1 | 4

q50 przy założeniu UDD, Balducciego oraz

11. Mamy dane: µ(80, 5) = 0, 0202

µ(81, 5) = 0, 0408

µ(82, 5) = 0, 0619,

zakładając UDD obliczyć prawdopodobieństwo, że osoba w wieku 80,5 umrze w ciągu dwóch lat. 12. Jaka jest oczekiwana liczba osób z populacji miliona 35-latków, które umrą po ukończeniu 36 lat i 4 miesięcy życia i przed ukończeniem 37 lat i 8 miesięcy? Przyjmujemy założenie Balducciego, dotyczące umieralności w okresach ułamkowych. Dane są q35 = 3 · 10−3 q36 = 6 · 10−3 q37 = 9 · 10−3 1 roku. Podać najbliższą wartość: Przyjąć, że 1 miesiąc to 12 Odpowiedź: (A) 9934, (B) 9944, (C) 9954, (D) 9966, (E) 9976.

13. Przy założeniu UDD obliczyć

10|1,5 q30 ,

wiedząc, że

l30 = 523 l40 = 436 l41 = 427 l42 = 417. 14. Uzupełnić następującą tablicę trwania życia przy założeniu UDD, wiedząc, że p20 = 0, 99969 oraz q21 = 0, 00032 lx x 20 98597 20, 5 21 21, 5 22

zadania z egzaminów aktuarialnych 1. W danej populacji intensywność śmiertelności zmienia się skokowo w rocznicę narodzin i jest stała aż do następnych narodzin. Jaka jest oczekiwana liczba osób z miliona 60-latków, które umrą po ukończeniu 61 lat i 8 miesięcy, a przed skończeniem 62 lat i 4 miesięcy. Dane są: q60 = 0, 01

q61 = 0, 03

q62 = 0, 05

1 Przyjąc, że 1 miesiąc to 12 roku. Podać najbliższą wartość. A) 26067 B) 26071 C) 26075 D) 26079 E) 26083

2. Rozpatrujemy grupę osób w wieku (x+ 13 ) lat i analizujemy śmiertelność w tej grupie do wieku (x+ 1) lat. Znamy jedynie qx = 0, 06, dlatego rozważamy założenie UDD oraz założenie Balducciego. Podać, dla jakiego u intensywność wymierania µx+ 1 +u będzie o 2% wyższa wg Balducciego w 3 stosunku do UDD. Podać najbliższą wartość. A) 0, 168 B) 0, 172 C) 0, 176 D) 0, 180 E) 0, 184 3. Dany jest wiek całkowity x oraz 3 px

= 0, 83904

2 px+ 1

2

= 0, 893388

px+1 = 0, 95

Oblicz px oraz px+2 stosując założenie o jednostajnym rozkładzie śmierci w ciągu roku. Podać najbliższą wartość. A) px = 0, 94 px+2 = 0, 92 B) px = 0, 96 px+2 = 0, 94 C) px = 0, 96 px+2 = 0, 92 D) px = 0, 98 px+2 = 0, 94 E) px = 0, 98 px+2 = 0, 91 4. Rozważmy grupę 1000 osób urodzonych 1 kwietnia 1950 roku, żyjących 1 stycznia 2001. Wyznaczyć dalsze trwanie życia tych osób (sumę przeżytych lat) w okresie od 1 stycznia 2001 do 31 grudnia 2002, jeżeli wiadomo, że w tej populacji intensywność zgonów jest funkcją schodkową ze skokiem w każdą rocznicę urodzin i stałym poziomem aż do następnych urodzin. Dane są: q50 = 0, 10

q51 = 0, 15

q52 = 0, 20

Podać najbliższą wartość. A) 1587 B) 1632 C) 1687 D) 1717 E) 1842 5. Rozpatrzmy osobę, która ukończyła 1 stycznia 1998 roku 30 lat. Przy założeniu Balducciego (1−u qx+u = (1 − u)qx dla całkowitego x i u ∈ [0, 1]) prawdopodobieństwo śmierci tej osoby w ciągu pierwszych 170 dni roku 2028 jest równe prawdopodobieństwu jej śmierci w pozostałej części tego roku. Znajdź p60 (podaj najbliższą liczbę). Przyjmujemy, że 1 rok = 365 dni. A) dane są sprzeczne B) 0, 77 C) 0, 82 D) 0, 87 E) 0, 92