10 - DSEMS

ESERCIZI SULLA SCELTA OTTIMALE DEL CONSUMATORE

1) Le preferenze di un consumatore sono rappresentate dalla seguente funzione di utilità: U=4X+2Y. Il reddito è pari a R=100 ed i prezzi dei due beni sono Px=2 e Py=2. a) Si determini l’andamento delle curve di indifferenza; b) Si individui il paniere ottimale del consumatore; c) Si scriva e si rappresenti graficamente la curva di domanda del bene X quando il reddito è R=100 ed il prezzo di Y è Py=2. 2) Le preferenze di un consumatore sono rappresentate dalla seguente funzione di utilità: U x, y   ln x  2 y

Il consumatore dispone di un reddito R e i prezzi dei due beni sono px e py a) Calcolate il tasso marginale di sostituzione tra i due beni b) Disegnate la curva reddito-consumo in questo caso e discutetene la configurazione c) Costruite le funzioni di domanda marshalliana di x e y. d) Calcolate l’elasticità della domanda di x rispetto al proprio prezzo e) Mostrate che le funzioni di domanda sono omogenee di grado zero 3) Le preferenze di un consumatore sono rappresentate dalla seguente funzione di utilità: U  x, y   ln x  y . Il consumatore dispone di un reddito R e i prezzi dei due beni sono px e py a) Calcolate il tasso marginale di sostituzione tra i due beni b) Disegnate la curva reddito-consumo in questo caso e discutetene la configurazione c) Costruite le funzioni di domanda marshalliana di x e y. d) Calcolate l’elasticità della domanda di x rispetto al proprio prezzo e) Mostrate che le funzioni di domanda sono omogenee di grado zero

4) Le preferenze di un consumatore rispetto ai beni x e y sono rappresentate dalla seguente funzione di utilità: 1 1 U  x, y   a   x y

Il consumatore dispone di un reddito R e i prezzi dei due beni sono px e py. a) Scrivete il tasso marginale di sostituzione tra i due beni e fornitene un’interpretazione economica; b) Scrivete l’espressione per la curva di domanda del bene x e del bene y

c) Disegnate con precisione la curva di Engel del bene x e quella del bene y d) Offrite un’interpretazione economica della rappresentazione che avete fornito al punto c) 5) Le preferenze di un consumatore sono rappresentate dalla seguente funzione di utilità: U  x, y    x0.5  y 0.5 

2

a) Indicando con px il prezzo del bene x e con p y quello del bene y, scrivete l’espressione della curva reddito-consumo di questo consumatore; b) Calcolate le funzioni di domanda marshalliana dei due beni; c) Verificatene l’omogeneità di grado zero; d) Stabilite se i due beni sono complementi, sostituti o indipendenti nelle preferenze del consumatore.

6) Considerate un consumatore caratterizzato dalla seguente funzione di utilità e dotato di un reddito R: U  x, y   x3 y 5

a) Costruite le curve di domanda marshalliane dei due beni. b) Scrivete l’equazione della curva reddito-consumo e offritene una corretta rappresentazione grafica. c) Discutete in questo caso specifico l’effetto di variazioni del prezzo di un bene sulla domanda dell’altro bene. d) Calcolate l’elasticità della domanda di ciascun bene rispetto al proprio prezzo 7) Le preferenze di un consumatore sono descritte dalla funzione di utilità u(x,y) = ln(x+y), dove x e y rappresentano le quantità dei due beni. Dopo aver rappresentato le curve di indifferenza associate a questa funzione di utilità, individuate la soluzione ottima nell’ipotesi che il prezzo del bene x sia 1 e il prezzo del bene y sia pari a 2. 8) Le preferenze di un consumatore rispetto ai beni x e y sono rappresentate dalla seguente funzione di utilità: U  x, y   x 2 y 4

Il consumatore dispone di un reddito R e i prezzi dei due beni sono px e py. a) Scrivete il tasso marginale di sostituzione tra i due beni e fornitene un’interpretazione economica; b) Scrivete l’espressione per la curva di domanda del bene x e del bene y

c) Con riferimento alla domanda del bene x, calcolatene l’elasticità rispetto al prezzo del bene e l’elasticità rispetto al reddito d) Offrite un’interpretazione economica dei risultati ottenuti al punto c) 9) Le preferenze di un consumatore sono rappresentate dalla funzione di utilità: U(x, y) = min(x, y). Il reddito è pari a R =200 ed i prezzi dei due beni sono px = 10, py = 5. a) Si determini l’andamento delle curve di indifferenza; b) Si individui il paniere ottimale del consumatore; c) Con l’eventuale ausilio di opportuni grafici, si analizzi l’effetto della diminuzione del prezzo del bene x, avendo cura di distinguere l’effetto reddito dall’effetto di sostituzione. 10) Le preferenze di un consumatore sono rappresentate dalla seguente funzione di utilità: U x , y   x 3 y 2

Indicando con p x e p y i prezzi dei due beni e con R il reddito, a) calcolate la curva di domanda individuale di questo consumatore, b) calcolate la curva redditoconsumo e discutetene le proprietà, c) dimostrate che la funzione di domanda è omogenea di grado zero, d) valutate se i beni x e y sono sostituti, complementi o indipendenti e tracciate di conseguenza la curva prezzo consumo del bene x rispetto a variazioni del prezzo del bene y. 11)

Le preferenze di un individuo sono descritte dalla funzione di utilità: U (x,y) = x1/2 + y1/2. a) Costruite le funzioni di domanda marshalliane dei beni x e y. b) Dimostrate che tali funzioni di domanda sono omogenee di grado zero. c) Calcolatene l’elasticità della domanda rispetto al reddito e, in base alla vostra risposta, disegnate le curve di Engel.

12)

Considerate la seguente funzione di utilità



U x, y   x 0.5  y 0.5



0.5

e calcolate: a) l’espressione della curva reddito consumo b) la domanda marshalliana del bene x c) la domanda marshalliana del bene y

13) Un individuo è caratterizzato da preferenze descritte dalla seguente funzione di utilità U x, y   3ln x  5 ln y

Indicando con px il prezzo del bene x , con py il prezzo del bene y e con R il reddito a) scrivete le funzioni di domanda marshalliane dei due beni; b) spiegate se i due beni sono complementi, sostituti o indipendenti e perché; c) dimostrate che la quota del reddito destinata a ciascuno dei due beni è indipendente dal livello del reddito. 14) Le preferenze di un consumatore sono rappresentate dalla seguente funzione di utilità: U  x, y  

x  y 2

Il consumatore dispone di un reddito R e i prezzi dei due beni sono px e py a) Calcolate il tasso marginale di sostituzione tra i due beni b) Disegnate la curva reddito-consumo in questo caso e discutetene la configurazione c) Costruite le funzioni di domanda marshalliana di x e y. d) Calcolate l’elasticità della domanda di y rispetto al proprio prezzo e) Mostrate che le funzioni di domanda sono omogenee di grado zero 15) Le preferenze di un consumatore sono descritte dalla seguente funzione di utilità: U  ln x  ln y 

2

Sia R il reddito del consumatore e siano px e py i prezzi dei due beni a) Calcolate le curve di domanda marshalliane dei due beni; b) Valutate la domanda dei due beni se R = 500, px = 10, py = 25. Ipotizzate che il prezzo di x aumenti da 10 a 50. Tramite il metodo della variazione di costo scomponete gli effetti di questo aumento del prezzo sulla domanda di x in effetto di sostituzione ed effetto di reddito. c) Utilizzando le curve di domanda ottenute nel punto a), dimostrate che la quota di reddito spesa in ciascuno dei due beni è indipendente dal livello del reddito stesso. 16) Le preferenze di un consumatore sono espresse dalla seguente funzione di utilità:

U  x, y   ln x  ln y Il consumatore dispone di un reddito pari a 200. Inizialmente il prezzo del bene x è pari a 25 e il prezzo del bene y è pari a 40. Successivamente il prezzo del bene x raddoppia. Scomponete l’effetto complessivo sulla domanda dei due beni di questa variazione del prezzo in effetto di sostituzione ed effetto di reddito, utilizzando il metodo della variazione di costo. 17) Sia U x, y   2xy la funzione di utilità che descrive le preferenze di un consumatore. a) Se il prezzo del bene y è pari a 1, quale valore devono assumere il prezzo del bene x e il reddito R affinché risulti ottimale consumare il paniere (x, y) = (10, 20)? b) Calcolate le curve di Engel di questo consumatore e offritene una rappresentazione grafica. c) Quale valore assume l’elasticità della domanda di ciascun bene rispetto al prezzo dell’altro? 18) Le preferenze di un consumatore rispetto ai beni x e y sono sintetizzate dalla seguente funzione di utilità: U x, y   a ln x  b ln y

Calcolate le funzioni di domanda dei due beni; b) calcolate la variazione percentuale della quantità domandata del bene x a seguito di un incremento dell’1% del prezzo del bene x c) calcolate la variazione percentuale della quantità domandata di x a seguito dell’aumento dell’1% del reddito; d) valutate se i beni sono sostituti, complementi o indipendenti.

19)

Un consumatore è caratterizzato dalla seguente funzione di utilità semilineare: U x , y   x  y

a) Calcolate le curve di domanda marshalliane dei due beni. b) Calcolate le elasticità delle curve di domanda ottenute al punto a) rispetto al reddito, al prezzo del bene in questione e al prezzo dell’altro bene

20) Le preferenze di un consumatore per il bene x e il bene y sono rappresentate dalla seguente funzione di utilità: U x, y   2xy  y

Siano p x e py i prezzi del bene x e y rispettivamente. Il consumatore dispone di un reddito R. a) Calcolate l’espressione per la curva reddito-consumo b) Calcolate l’equazione delle curve di domanda del bene x e del bene y c) Sulla base delle funzioni di domanda che avete ottenuto, disegnate la curva prezzo-consumo per variazioni del prezzo del bene y d) Calcolate l’elasticità della domanda del bene y rispetto al suo prezzo 21)

Le preferenze di un consumatore sono rappresentate dalla funzione di utilità: U x1 , x2   x1  2 x2

a) Individuate i valori ottimi di x1 e x 2 quando i prezzi dei due beni sono entrambi pari a 2 e il reddito monetario è 20. b) Assumete ora che il prezzo di x1 divenga pari a 5. Come si modifica la scelta? c) Nelle variazioni di x1 e x 2 identificate al punto precedente, distinguete l’effetto di sostituzione e l’effetto di reddito secondo il metodo della variazione compensativa. Commentate il vostro risultato. 22)

Dimostrate che quando la funzione di utilità è semilineare, cioè del tipo U  x  f  y 

la domanda di del bene y è inelastica rispetto al reddito. Che cosa implica questa proprietà sulla forma della curva reddito-consumo?

23)

Le preferenze di un individuo sono descritte dalla seguente funzione di utilità: U x , y   x  2 y .

a) Calcolate la quantità domandata del bene y nel caso in cui i prezzi dei due beni sono uguali. b) Calcolate l’elasticità della domanda del bene y rispetto al proprio prezzo.

24)

Data la funzione di utilità: U(x,y) = x+y+xy a) ricavate una generica curva di indifferenza; b) ricavate la funzione di domanda di x e di y per livelli generici dei prezzi e del reddito; c) utilizzate il concetto di elasticità incrociata per dimostrare che nel caso in questione x è un sostituto lordo di y.

25) Le preferenze di un consumatore sono descritte dalla seguente funzione di utilità: U (x, y) = 4x + 10y Assumete che il prezzo del bene y sia pari a 20 euro e che il consumatore disponga di un reddito pari a 100 euro. Costruite la curva di domanda del bene x per prezzi del bene x compresi tra 20 euro e 1 euro. 26) Supponiamo che la struttura delle preferenze di un consumatore sia rappresentata dalla seguente funzione di utilità:



U x , y    x 1  y 1



Indicando con R il reddito del consumatore, calcolate la curva reddito-consumo e le curve di domanda marshalliana dei due beni.