2.4. Podstawowe metody statystyczne w epidemiologii

2.4.  Podstawowe metody statystyczne w epidemiologii Daniel Rabczenko, Bogdan Wojtyniak

2.4.1. Wstęp „Statystyka jest nauką i sztuką gromadzenia, zwięzłego przedstawiania i analizowania danych, które podlegają zmienności losowej”33. Biostatystyka jest to statystyka stosowana w zagadnieniach związanych ze zdrowiem populacji, w tym szczególnie w badaniach epidemiologicznych w zdrowiu publicznym i medycynie.

Efektywne wykorzystanie danych było zawsze istotnym składnikiem działań w dziedzinie zdrowia publicznego. Jego znaczenie wzrosło niesłychanie w ostatnich latach, gdy dąży się do tego, by wszystkie działania były oparte na faktach i miały solidne podstawy naukowe. Trudno sobie obecnie wyobrazić badania dotyczące problemów zdrowotnych ludności, które byłyby prowadzone bez znajomości podstaw demografii oraz stosowania odpowiedniego aparatu statystycznego. Statystyka jest podstawowym narzędziem do oceny wyników badań epidemiologicznych. Pozwala na obiektywizację oceny i interpretacji uzyskanych danych. Przedmiotem niniejszego rozdziału są podstawowe, najczęściej stosowane w epidemiologii metody analizy statystycznej. Większość przykładów w  niniejszym rozdziale powstała na podstawie zbioru danych zawierającego pomiary ciśnienia skurczowego i rozkurczowego grupy 100 osób. Dostępne w nim są również płeć i wiek badanych, a także informacja o dodawaniu soli do potraw. Zbiór jest częścią pakietu epicalc wchodzącego w skład statystycznego programu R for Windows (http://r.meteo.uni.wroc.pl/web/packages/epitools/index.html). Dane w formie tabelarycznej podane są poniżej (tab. 2.9). Tabela 2.9. Zbiór danych dotyczących ciśnienia krwi i stosowania soli Nr

Płeć

  1 Mężczyzna

Skurczowe ciśnienie tętnicze

Rozkurczowe ciśnienie tętnicze

Solone (potrawy)

Data urodzin

Wiek

110

80

tak

1943-01-06

58

85

55

nie

1969-01-03

32

  3 Mężczyzna

167

112

tak

1933-06-10

68

  4 Kobieta

145

110

tak

1946-11-23

55

  5 Kobieta

180

120

nie

1941-01-03

60

  2 Kobieta

33  Last J.M.: A Dictionary of Epidemiology, fourth edition. Oxford University Press, Oxford 2001.

83

Tabela 2.9. cd.   6 Mężczyzna

112

78

nie

1942-04-16

59

  7 Kobieta

110

70

nie

1969-01-11

32

  8 Mężczyzna

198

119

tak

1938-07-25

63

  9 Mężczyzna

171

102

tak

1943-04-24

58

10 Kobieta

133

75

tak

1955-09-22

46

11 Kobieta

150

72

tak

1938-12-16

63

12 Kobieta

178

128

tak

1938-02-07

63

13 Mężczyzna

118

72

nie

1949-03-28

52

14 Mężczyzna

140

90

nie

1934-09-17

67

15 Mężczyzna

192

118

nie

1959-02-12

42

16 Kobieta

126

78

nie

1955-08-29

46

17 Kobieta

182

96

tak

1941-10-08

60

18 Kobieta

132

80

nie

1975-12-08

26

19 Kobieta

148

94

nie

1953-06-18

48

20 Kobieta

128

84

nie

1937-05-14

64

21 Kobieta

202

118

tak

1945-03-25

56

22 Kobieta

184

148

tak

1940-03-30

61

23 Mężczyzna

118

72

nie

1961-03-02

40

24 Mężczyzna

122

86

nie

1965-10-05

36

25 Mężczyzna

126

92

nie

1960-01-14

41

26 Mężczyzna

136

90

nie

1948-02-03

53

27 Kobieta

110

82

tak

1965-11-24

36

28 Mężczyzna

136

84

nie

1957-12-03

44

29 Mężczyzna

112

82

nie

1949-03-15

52

30 Kobieta

115

73

tak

1961-02-11

40

31 Mężczyzna

125

86

tak

1946-03-07

55

32 Mężczyzna

160

98

nie

1937-12-08

64

33 Mężczyzna

125

84

tak

1956-09-03

45

34 Mężczyzna

125

75

tak

1960-02-05

41

35 Mężczyzna

145

92

nie

1962-05-04

39

36 Mężczyzna

122

95

nie

1945-10-02

56

37 Mężczyzna

115

85

nie

1944-06-27

57

38 Mężczyzna

215

114

tak

1945-04-13

56

39 Mężczyzna

170

98

nie

1935-04-20

66

40 Mężczyzna

126

76

tak

1955-09-13

46

41 Kobieta

203

158

tak

1941-10-25

60

42 Kobieta

204

116

 

1943-06-02

58

43 Kobieta

202

108

tak

1949-04-04

52

44 Kobieta

206

140

tak

1959-12-07

42

84

Tabela 2.9. cd. 45 Kobieta

196

128

 

1948-08-19

53

46 Kobieta

238

136

 

1943-07-01

58

47 Kobieta

208

138

 

1944-08-23

57

48 Kobieta

142

118

 

1966-05-16

35

49 Kobieta

182

122

tak

1942-06-22

59

50 Kobieta

206

102

 

1945-04-15

56

51 Kobieta

182

96

 

1942-08-06

59

52 Kobieta

152

108

 

1950-10-13

51

53 Kobieta

146

80

nie

1942-12-18

59

54 Kobieta

106

78

 

1970-11-27

31

55 Kobieta

100

70

nie

1962-12-07

39

56 Kobieta

120

80

tak

1964-01-06

37

57 Kobieta

122

84

 

1964-08-04

37

58 Kobieta

108

72

 

1971-01-01

30

59 Kobieta

118

82

tak

1970-05-05

31

60 Kobieta

128

86

 

1957-11-08

44

61 Kobieta

110

70

 

1963-05-30

38

62 Mężczyzna

180

118

 

1941-12-20

60

63 Mężczyzna

184

98

 

1943-12-21

58

64 Mężczyzna

202

150

tak

1960-07-30

41

65 Mężczyzna

180

100

 

1941-04-07

60

66 Mężczyzna

224

130

 

1941-10-03

60

67 Mężczyzna

164

86

nie

1942-04-15

59

68 Mężczyzna

120

82

nie

1970-09-27

31

69 Mężczyzna

110

72

 

1970-06-25

31

70 Mężczyzna

123

85

 

1967-01-15

34

71 Kobieta

235

117

 

1966-03-16

35

72 Mężczyzna

182

105

nie

1943-09-07

58

73 Kobieta

182

105

tak

1953-09-30

48

74 Mężczyzna

172

105

tak

1948-07-01

53

75 Kobieta

160

110

nie

1953-07-30

48

76 Mężczyzna

165

122

nie

1960-08-28

41

77 Mężczyzna

116

75

nie

1972-10-12

29

78 Kobieta

224

144

tak

1952-12-20

49

79 Kobieta

193

132

tak

1957-01-17

44

80 Mężczyzna

125

84

nie

1971-09-22

30

81 Mężczyzna

115

82

nie

1967-03-07

34

82 Kobieta

143

97

nie

1956-04-12

45

83 Mężczyzna

136

90

nie

1950-06-23

51

85

Tabela 2.9. cd. 84 Kobieta

148

108

tak

1946-06-19

55

85 Kobieta

201

124

nie

1930-11-14

71

86 Mężczyzna

200

110

nie

1935-10-12

66

87 Mężczyzna

120

68

tak

1970-08-14

31

88 Kobieta

185

125

tak

1941-03-05

60

89 Kobieta

223

102

tak

1938-03-04

63

90 Kobieta

90

70

tak

1965-04-03

36

91 Kobieta

80

62

tak

1970-08-03

31

92 Kobieta

185

105

tak

1965-12-05

36

93 Kobieta

160

108

tak

1954-04-25

47

94 Kobieta

110

80

tak

1958-03-10

43

95 Kobieta

80

60

nie

1956-02-04

45

96 Kobieta

174

105

tak

1953-04-09

48

97 Mężczyzna

215

130

tak

1947-10-31

54

98 Kobieta

220

135

tak

1956-08-26

45

99 Mężczyzna

165

115

tak

1946-05-11

55

100 Mężczyzna

170

120

tak

1947-07-25

54

2.4.2. Dane Pobieranie danych W zależności od typu badania epidemiologicznego w jego trakcie zostają zebrane informacje dotyczące osób biorących udział w  badaniu lub charakteryzujące badaną populację. Szczególnym typem badania jest badanie wyczerpujące. Polega ono na zebraniu danych dotyczących wszystkich jednostek w populacji. Z taką sytuacją mamy do czynienia na przykład podczas badania małej populacji – zamieszkującej skażony teren czy też spożywającej posiłek w stołówce, w której zanotowano zatrucia pokarmowe. Częściej jednak badanie statystyczne polega na pobraniu tak zwanej próby, czyli grupy osób z badanej populacji, i wnioskowaniu na jej podstawie o prawidłowościach w populacji, którą reprezentuje pobrana próba. Podstawowym warunkiem tego, aby na podstawie zależności obserwowanych w próbie móc wyciągnąć prawdziwe wnioski dotyczące całej populacji, jest losowy dobór próby i pobranie jej w taki sposób, by jak najdokładniej przypominała ona populację pod względem kluczowych z punktu widzenia badania cech, np. rozkładu płci, wieku, struktury zamieszkania czy też zatrudnienia. W związku z tym pierwszym bardzo ważnym aspektem przeprowadzenia badania staje się sposób pobierania próby.

86

Podstawowym zagadnieniem, jakie trzeba rozważyć, jest reprezentatywność próby. Jeżeli okazałoby się, że próba nie jest reprezentatywna (na przykład dane ze względów logistycznych zostały zebrane jedynie od mieszkańców dużych miast), wnioski dotyczące całej populacji (na przykład rozpowszechnienia występowania chorób odzwierzęcych) mogłyby być fałszywe. Istnieje wiele sposobów losowego pobierania próby – wyboru ludzi do badania. Przedstawimy najważniejsze z nich. Podstawową metodą jest metoda oparta na losowaniu prostym. Przy zastosowaniu tej metody każda osoba z badanej populacji ma takie samo prawdopodobieństwo znalezienia się w próbie. Badana grupa jest losowana bezpośrednio z populacji. Minusem tego rozwiązania jest konieczność posiadania listy wszystkich osób w populacji. W dużych badaniach jest to oczywiście niemożliwe ze względów logistycznych. Drugą z podstawowych metod losowania jest losowanie warstwowe. Polega ono na podzieleniu badanej populacji na homogenne pod względem pewnych cech (wiek, płeć, region geograficzny) grupy – tak zwane warstwy, a następnie na przeprowadzeniu w obrębie każdej z nich losowania prostego. Końcową próbę otrzymuje się, łącząc próby uzyskane w każdej z  warstw. Schemat ten zapewnia uzyskanie próby zawierającej reprezentantów wszystkich wybranych podgrup. Można również tak przygotować schemat losowania, by liczebności prób z  poszczególnych warstw były proporcjonalne do liczebności populacji w  tych warstwach. Schemat ten jest szczególnie użyteczny, gdy występuje związek między badaną cechą a cechami wyznaczającymi warstwy. Trzecią z najważniejszych metod losowania jest losowanie zespołowe. Polega ono na losowym wybraniu nie indywidualnych badanych jednostek, ale ich zespołów i włączeniu ich do próby (często stosowana jest również modyfikacja polegająca na dwustopniowej realizacji losowania i przeprowadzeniu losowania prostego wewnątrz każdego z wylosowanych zespołów). Przykładem losowania zespołowego może być losowy wybór szkół z terenu województwa i przebadanie w nich wszystkich (bądź części) dzieci, np. pod względem występowania chorób kręgosłupa. Koszty tak zaprojektowanego badania są mniejsze niż na przykład przebadanie określonej liczby dzieci z każdej ze szkół. W praktyce bardzo często stosuje się kombinacje omówionych powyżej metod. Na przykład w pierwszym etapie losowane są zespoły (np. szkoły), w których przeprowadzone jest losowanie warstwowe (np. warstwy wyznaczone są przez klasę). Zagadnieniem związanym z losowaniem jest występująca w przypadku badań interwencyjnych potrzeba podziału próby na podgrupy – na przykład leczone według różnych programów terapeutycznych. Aby przypisanie osoby do grupy badawczej nie było obciążone wyborem badacza, przeprowadza się procedurę randomizacji – losowego przydziału osób biorących udział

87

w badaniu do grupy badawczej. Jest wiele sposobów przeprowadzenia tej procedury, zagadnienie to wykracza jednak poza zakres tego rozdziału.

Typy danych Rozróżnienie typów danych, choć może wydawać się zagadnieniem czysto teoretycznym, ma bardzo duże znaczenie, ponieważ różnym typom danych (wyznaczonym przez omówione poniżej skale pomiarowe) odpowiadają różne techniki opisu statystycznego.

Skale pomiarowe Wybór odpowiednich metod opisu statystycznego zależy od skali, w jakiej mierzona jest dana cecha. Rozróżniamy trzy podstawowe skale: nominalną, porządkową i interwałową (ilościową).

Skala nominalna Dane mierzone w skali nominalnej opisane są za pomocą kategorii, których nie potrafimy uporządkować. Typowymi cechami mierzonymi w tej skali są: rasa, płeć, stan cywilny. Szczególnym przykładem danych mierzonych w skali nominalnej są wyniki doświadczenia, w którym możliwe są tylko dwa wyniki – zdarzenie występuje albo nie (choroba obecna/nieobecna, stężenie cholesterolu w normie/powyżej normy).

Skala porządkowa Wyniki doświadczenia opisujemy za pomocą zestawu pewnych uporządkowanych kategorii. Przykładem danych mierzonych w skali porządkowej może być samopoczucie określane jako słabe/normalne/dobre. Możemy określić kierunek natężenie badanej cechy, jednakże nie potrafimy stwierdzić, że np. samopoczucie słabe jest gorsze o tyle samo od normalnego, co normalne od dobrego. Innymi przykładami danych mierzonych w skali porządkowej są poziom wykształcenia czy też stopień zaawansowania nowotworu.

Skala interwałowa W skali interwałowej mierzymy dane, co do których mamy informację zarówno o kierunku natężenia badanej cechy, jak i odległości pomiędzy war-

88

tościami pomiarów. Za przykład zmiennych mierzonych w  tej sali mogą posłużyć wszystkie dane wyrażane za pomocą liczb, jak: wzrost, waga, ciśnienie krwi, miano przeciwciał itp.

Pomiary powiązane (skorelowane, zależne) Niezwykle istotnym elementem planowania analizy statystycznej jest uwzględnienie w  niej ewentualnego powiązania pomiarów. Problem ten pojawia się w sytuacji, gdy u osób uczestniczących w badaniu wykonuje się więcej niż jeden pomiar tej samej wielkości. Typową sytuacją jest ocena stanu chorego przed zabiegiem i po nim lub dwukrotne wykonanie testów diagnostycznych u tej samej osoby.

2.4.3. Statystyka opisowa Szereg rozdzielczy Rozkład analizowanej cechy o charakterze ciągłym (mierzonej w skali interwałowej) można bardzo łatwo zbadać, tworząc tzw. szereg rozdzielczy. Polega to na zliczeniu liczby obserwacji badanej cechy, które mieszczą się w  określonych wcześniej zakresach (przedziałach klasowych). Graficzną reprezentacją szeregu rozdzielczego jest histogram. Przy tworzeniu szeregu rozdzielczego bardzo ważny jest wybór szerokości przedziału. Zarówno zbyt wąskie, jak i zbyt szerokie przedziały utrudnić mogą wyciąganie wniosków o prawidłowościach występujących w danych.

Przykład 1 Prześledźmy kilka szeregów rozdzielczych utworzonych dla zmiennej SBP (systolic blood pressure – skurczowe ciśnienie tętnicze). Tabela 2.10. Kategorie ciśnienia tętniczego co 20 mmHg SBP

Liczebność

Procent

Poniżej 100

 4

  4,0

100–120

21

21,0

121–140

19

19,0

141–160

12

12,0

Powyżej 161

44

44,0

89

Kategorie zostały wybrane bez odniesienia do istniejących norm dotyczących ciśnienia skurczowego krwi. Szereg rozdzielczy opisuje rozkład badanej cechy, jednak takie przedstawienie danych stwarza trudności interpretacyjne. Tabela 2.11. Dwie kategorie ciśnienia tętniczego: do 120 i powyżej 120 mmHg Liczebność

Procent

0–119

SBP

22

22,0

120+

78

78,0

Szereg rozdzielczy zawierający tylko dwie kategorie bardzo ogranicza możliwości interpretacyjne zebranych danych. Wyższa kategoria nie różnicuje osób z bardzo wysokim ciśnieniem, a niższa – z bardzo niskim ciśnieniem. Tabela 2.12. Kategorie wyznaczone przez stan pacjenta34 Liczebność

Procent

Niedociśnienie (< 90)

SBP

 3

  3,0

Ciśnienie w normie (90–119)

19

19,0

Stan poprzedzający nadciśnienie (120–139)

21

21,0

Nadciśnienie 1 stopnia (140–159)

10

10,0

Nadciśnienie 2 stopnia (co najmniej 160)

47

47,0

Kategorie zostały wybrane na podstawie literatury, dzięki czemu oprócz prostego opisu rozkładu badanej cechy możemy opisać badaną grupę również pod względem rozpowszechnienia zaburzeń ciśnienia różnego rodzaju i o różnym natężeniu. Miar tendencji centralnej używamy do określenia przeciętnych wartości badanej cechy. Z wielu takich miar przedstawimy trzy: średnią arytmetyczną, medianę oraz wartość modalną. Najczęściej używaną miarą położenia jest średnia arytmetyczna (arithmetic mean). Oblicza się ją według wzoru: μ ˉ=

x1 + ... + xn 1 n Σ x, = n n i=1 i

gdzie: x1,…,xn – obserwacje badanej cechy u każdej z  n jednostek badania.

34  Chobanian A.V. i in.: Seventh report of the Joint National Committee on Prevention, Detection, Evaluation, and Treatment of High Blood Pressure. Hypertension, 2003, 42(6), 1206–52.

90

Średnia arytmetyczna może być obliczana tylko dla danych w skali interwałowej. Dobrze opisuje dane o rozkładzie symetrycznym, natomiast nie powinno się jej używać w sytuacji, gdy w zbiorze danych istnieją pomiary znacznie odbiegające od innych (rozkład jest skośny). Średnia arytmetyczna jest estymatorem punktowym średniej wartości analizowanej cechy w badanej populacji. Drugą ważną miarą położenia jest mediana (median). Jest to wartość cechy dzieląca zbiór elementów próby na połowy. Może być obliczana jedynie dla danych w skali interwałowej. Obserwacje znacznie odbiegające od innych nie zmieniają jej wartości w tak dużym stopniu jak w przypadku średniej arytmetycznej. Wartość modalna to najczęściej występująca w zbiorze danych wartość badanej cechy. Miary rozproszenia używane są do opisu zmienności badanej cechy w  populacji. Konkretne miary rozproszenia są połączone z  konkretnymi miarami położenia. Najczęściej stosowanymi miarami rozproszenia są odchylenie standardowe (odpowiadające średniej arytmetycznej) i kwantyle (odpowiadające medianie). Odchylenie standardowe (standard deviation) dane jest wzorem: .

Pozwala ono zatem stwierdzić, o ile przeciętnie różnią się wartości analizowanej cechy występujące u badanych jednostek od średniej arytmetycznej wartości tej cechy. Odchylenie standardowe może być obliczane jedynie dla danych w skali interwałowej. Kwantyle są tymi wartościami analizowanej cechy, które dzielą badaną zbiorowość na podgrupy o równych liczebnościach. Najczęściej są to: tercyle – trzy podgrupy, kwartyle – cztery podgrupy, kwintyle – pięć podgrup, decyle – dziesięć podgrup i centyle – sto podgrup. Percentylem (rzędu q, 0 < q < 100) nazywamy wartość, poniżej której zawiera się q% obserwacji (uporządkowanych rosnąco).

Przedziały ufności Opisane wyżej miary tendencji centralnej i  rozproszenia noszą wspólną nazwę estymatorów punktowych. Oznacza to, że dana miara w populacji generalnej oszacowana jest przez jedną wartość liczbową. Prawie pewne jest jednak, że szacowany parametr w populacji generalnej nie jest identyczny z wartością estymatora punktowego z próby. Chcąc oszacować nie-

91

pewność dotyczącą estymatora punktowego, możemy obliczyć jego błąd standardowy. W przypadku średniej arytmetycznej dany jest on wzorem: ,   gdzie: sd (standard deviation) – odchylenie standardowe, n

– liczba pomiarów.

Zauważmy, że za pomocą odchylenia standardowego oceniamy rozproszenie wyników, a  za pomocą błędu standardowego średniej niepewność dotyczącą jej wartości. Ważną rolę odgrywa metoda estymacji przedziałowej. Polega ona na konstrukcji dla badanego parametru (na podstawie jego błędu standardowego) tak zwanego przedziału ufności (confidence interval), w  którym prawdziwa wartość badanego parametru leży z zadanym prawdopodobieństwem. Szczególnie ważne są przedziały ufności dla wartości średniej oraz dla odsetka osób w populacji posiadających wybraną cechę. Przedział ufności dla wartości średniej dany jest wzorem: ,

  gdzie: x ˉ – średnia arytmetyczna z próby, s – odchylenie standardowe, tα – odpowiednia wartość krytyczna rozkładu t-Studenta.

Przedział ufności dla wskaźnika struktury (procentu) dany jest natomiast wzorem: ,

  gdzie: p – odsetek osób z daną cechą, n – liczebność populacji, uα – odpowiednia wartość krytyczna rozkładu normalnego.

92

Przedziały ufności oblicza się nie tylko dla statystyk opisowych, ale również dla miar ryzyka, o których będzie mowa poniżej.

Rozkłady prawdopodobieństwa W początkowej fazie analizy bardzo istotny jest opis częstości występowania konkretnych wartości badanej cechy. Należy zbadać jej rozkład prawdopodobieństwa, który charakteryzuje badaną populację pod względem interesującej nas zmiennej, poprzez przypisanie wartościom tej zmiennej prawdopodobieństwa ich wystąpienia. W przypadku zmiennej o charakterze ciągłym możemy podać tylko prawdopodobieństwo, że konkretna jej wartość należy do pewnego przedziału. Rozkład prawdopodobieństwa wyznaczony jest przez jego parametry. Oznacza to, że do oceny danego zjawiska o danym rozkładzie wystarcza nam ocena parametrów tego rozkładu. Funkcję, która wartościom badanej zmiennej przypisuje prawdopodobieństwo ich wystąpienia, nazywamy funkcją gęstości prawdopodobieństwa. Rozkładami mającymi największe zastosowanie w epidemiologii są rozkład normalny, dwumianowy i Poissona. Rozkład dwumianowy opisuje prawdopodobieństwo wystąpienia dokładnie określonej liczby zdarzeń w pewnej określonej liczbie powtórzeń. Zależy od dwóch parametrów – liczby powtórzeń danego doświadczenia oraz prawdopodobieństwa sukcesu w pojedynczym doświadczeniu. Z sytuacją taką mamy do czynienia na przykład przy opisie wyników leczenia (pozytywny/negatywny) w grupie pacjentów o określonej liczebności. Badanym zdarzeniem jest fakt wyleczenia, powtórzeniami jest liczba pacjentów, a nieznane prawdopodobieństwo sukcesu (wyleczenia) możemy oszacować na podstawie uzyskanych danych. Rozkład Poissona ma szczególne znaczenie w  epidemiologii, gdyż za jego pomocą opisuje się liczbę interesujących nas zdarzeń w sytuacji, gdy mogą się one pojawiać w sposób w pełni losowy (swobodny) – na przykład rozkład dziennej liczby zgonów w danym mieście w ciągu roku. Rozkład ten wyznaczony jest przez jeden parametr – średnią liczbę zdarzeń. Prawdopodobieństwo wystąpienia dokładnie k zdarzeń w  rozkładzie Poissona (funkcja gęstości) dane jest wzorem: P(X = k) =

λke–λ k!

 ,

gdzie: k – liczba zdarzeń, λ – średnia liczba zdarzeń.

93

Przykład 2 W przykładzie przeanalizowano rozkład obserwowanej i  oczekiwanej dziennej liczby zgonów z powodu chorób układu oddechowego osób w wieku co najmniej 70 lat w Warszawie w 2000 r. Oczekiwana liczba zgonów została obliczona ze wzoru na gęstość rozkładu Poissona ze średnią 1,918 oszacowaną na podstawie danych empirycznych. Dobra zgodność rozkładu empirycznego (obserwowanego) i teoretycznego świadczy o tym, że obserwowane liczby zgonów w kolejnych dniach są zdarzeniami niezależnymi (realizacją procesu Poissona).

Ryc. 2.17. Rozkład dziennej obserwowanej i oczekiwanej liczby zgonów z powodu chorób układu oddechowego w Warszawie w 2000 roku.

Rozkład normalny (Gaussa) jest bardzo często wykorzystywany – można za jego pomocą opisać rozpowszechnienie w populacji wielu cech mierzonych w  skali interwałowej, takich jak wzrost, waga, wyniki badań laboratoryjnych itp. Rozkład ten jest bardzo ważny również ze względu na jego właściwości matematyczne – na jego podstawie powstało wiele metod analizy danych. Rozkład normalny wyznaczony jest przez dwa parametry – średnią i odchylenie standardowe. Rycina 2.18 przedstawia funkcje gęstości rozkładu normalnego dla różnych wartości średnich i odchylenia standardowego. Dowolny rozkład normalny daje się przekształcić w  tak zwany standardowy rozkład normalny (o średniej 0 i odchyleniu standardowym 1), którego wartości są ujęte w tablicach. Znajomość rozkładu danej zmiennej pozwala na obliczenie (odczytanie) prawdopodobieństwa wartości mniejszych (większych) od danej war-

94

tości, a więc na określenie, czy jest prawdopodobne, że dana wartość pochodzi z rozkładu o założonych średniej i odchyleniu standardowym. Ma to kluczowe znaczenie we wnioskowaniu statystycznym, podczas którego obliczamy prawdopodobieństwo tego, że analizowane zależności są wynikiem jedynie zmienności losowej (sprawdzamy, czy jest prawdopodobne, że obliczona statystyka testowa pochodzi z określonego rozkładu prawdopodobieństwa).

Ryc. 2.18. Przykłady funkcji gęstości rozkładu normalnego przy różnych wartościach średniej i odchylenia standardowego.

Znajomość rozkładu prawdopodobieństwa badanej zmiennej jest istotna również z  tego względu, że pozwala na ocenę, czy wystąpienie konkretnej wartości tej zmiennej jest prawdopodobne, czy nie. Będzie to miało kluczowe znaczenie we wnioskowaniu statystycznym. Polega ono na ocenie prawdopodobieństwa tego, czy posiadane dane potwierdzają postawioną hipotezę, czy jej przeczą. We wszystkich testach prezentowanych poniżej prawdopodobieństwo to oznacza się literą p i interpretowane jest jako prawdopodobieństwo tego, że obserwowane różnice wynikają jedynie ze zmienności losowej. Jeżeli prawdopodobieństwo okaże się małe (zwykle za graniczną wartość przyjmuje się wartość p = 0,05), to interpretujemy to tak, że przyczyną obserwowanych różnic jest inny czynnik niż tylko losowy. W przypadku porównywania dwóch prób (populacji) fakt taki będziemy interpretować jako istnienie istotnych statystycznie różnic pomiędzy nimi co do poziomu lub częstości występowania badanej cechy.

95

2.4.4. Analiza zmiennych skategoryzowanych Współczynniki i ich standaryzacja Podstawową miarą opisu stanu zdrowia populacji są współczynniki umieralności, chorobowości, zapadalności itp. Współczynniki te omówione zostały dokładnie w rozdziale „Epidemiologia – narzędzia badawcze i metody”. Zauważmy, że obliczenie współczynnika lub procentu osób chorych czy zmarłych odpowiada obliczeniu statystyk opisowych dla zmiennej o  charakterze kategorycznym, posiadającej dwie wartości: tak/nie (żyje/ /zmarł, zdrowy/chory itp.). W przypadku, gdy chcemy porównać dwie lub więcej populacje pod względem częstości rozpowszechnienia pewnej cechy, konieczne jest rozważenie, czy obserwowane różnice lub ich brak są wynikiem różnic w  rozpowszechnieniu badanej cechy, czy może różnic pewnych charakterystyk populacji, np. rozkładu płci i  wieku, które mają bezpośredni wpływ na występowanie tej cechy. Dla zilustrowania tego problemu prześledzimy dane przedstawione w przykładzie 3.

Przykład 3 Rozważmy problem porównania współczynników umieralności w  dwóch hipotetycznych populacjach (dla uproszczenia w analizie nie uwzględniamy płci). Widać, że we wszystkich grupach wieku współczynniki cząstkowe są wyższe w  populacji B, jednak ogólny (rzeczywisty) współczynnik umieralności wyższy jest w populacji A. Różnice wynikają z innego rozkładu wieku w  porównywanych populacjach. W  populacji A przeważają starsze, a w populacji B młodsze grupy wieku. Natężenie umieralności jest w nich odmienne. Tabela 2.13 Populacja A

Populacja B

Liczba mieszkańców

Liczba zgonów

Cząstkowy współczynnik umieralności

Liczba mieszkańców

Liczba zgonów

Cząstkowy współczynnik umieralności

0–20

  100 000

   10

  10,0

  400 000

100

  25,0

21–40

  200 000

  100

  50,0

  300 000

195

  65,0

Wiek

41–60

  300 000

  300

100,0

  200 000

300

150,0

60 +

  400 000

  800

200,0

  100 000

400

400,0

Ogółem

1 000 000

1210

121,0

1 000 000

995

100,0

96