8. ELEMENTY RZECZYWISTE W OBWODACH PRĄDU

8. ELEMENTY RZECZYWISTE W OBWODACH PRĄDU ZMIENNEGO Poznane przez nas idealne elementy obwodów elektrycznych są wyidealizowanymi, uproszczonymi odwzorowaniami obiektów rzeczywistych. Prostota ich matematycznego opisu daje pożądany efekt łatwości dokonywania analiz i obliczeń. Jednak zastosowane uproszczenia nie zawsze są możliwe do zaakceptowania. Wtedy do opisu danego obiektu lub obwodu rzeczywistego używa się kilku elementów idealnych połączonych w odpowiednią strukturę. Strukturą tą jest schemat zastępczy danego obiektu lub obwodu.

8.1. Cewka indukcyjna rzeczywista - gałąź szeregowa RL W idealnej cewce indukcyjnej zachodzi jedno tylko zjawisko fizyczne. Jest nim opisywane prawem Faraday’a zjawisko samoindukcji, związane z istnieniem pola magnetycznego, którego źródłem jest prąd płynący w cewce. Dla rzeczywistych cewek jest to idealizacja idąca zbyt daleko. Cewka wykonana jest z jakiegoś przewodnika, występuje w nim zatem jeszcze co najmniej jedno zjawisko - zjawisko cieplnego rozpraszania energii elektrycznej. Zazwyczaj nie można go pomijać w analizach. Jest ono opisywane prawami Ohma oraz Joule’a, zaś w schematach zastępczych jest odwzorowywane przez idealny rezystor. Zatem schemat zastępczy cewki rzeczywistej powinien składać się z co najmniej dwu elementów idealnych - idealnej cewki indukcyjnej i idealnego rezystora. Tempo cieplnego rozpraszania energii elektrycznej w rezystorze (tj. moc pobierana przez rezystor) zależy od wartości natężenia prądu ( p( t ) = R ⋅ i 2 ( t ) ). Również zjawisko samoindukcji zachodzące w cewce zależy od natężenia prądu (dokładniej, od jego zmian w czasie di u L = L ⋅ ). Stąd w schemacie zastępczym cewki rzeczywistej rezystor i cewka powinny być dt połączone tak, by przepływał przez nie ten sam prąd, a więc szeregowo.

Rys. 8.1. Schemat zastępczy cewki rzeczywistej jako gałęzi RL

Zbadajmy jak od przebiegu czasowego wartości chwilowych prądu oraz wartości rezystancji i indukcyjności cewki zależy przebieg wartości chwilowych napięcia. Niech prąd płynący przez cewkę ma przebieg sinusoidalny - i( t ) = I m sin( ωt + ψ I ) . Zależności pomiędzy przebiegami czasowymi prądu oraz napięć idealnego rezystora i idealnej cewki opisane są równaniami tych elementów. Mają one postaci - u R ( t ) = RL i( t ) i di( t ) . Rezystor i cewka są ze sobą połączone szeregowo, zatem napięcie gałęzi jest uL( t ) = L dt sumą tych napięć: di( t ) u( t ) = u R ( t ) + u L ( t ) = R L i( t ) + L (8.1) dt Sumę tę najprościej wyznacza się stosując metodę symboliczną - stworzoną właśnie do tego celu. W metodzie symbolicznej schemat zastępczy cewki z przebiegami czasowymi prądu i

- 33 -

napięć, zastępuje się schematem zastępczym cewki z wartościami skutecznymi zespolonymi prądu i napięć (rys. 8.1.). Zamiast natężenia prądu jako funkcji czasu mamy teraz natężenie prądu odwzorowywane przez liczbę zespoloną: I ⇒ i( t ) = I m sin( ωt + ψ I ) I = m ⋅ e jψ I = I ⋅ e jψ I 2 Zamiast sumowania funkcji czasu mamy sumowanie liczb zespolonych. ⇒ u( t ) = u R ( t ) + u L (t) U = U R +U L Podstawiając wyprowadzone w rozdz. 7. wzory na zależności pomiędzy wartościami skutecznymi prądu i napięcia dla idealnego rezystora ( U R = RL I ) i idealnego induktora ( U L = jωL ⋅ I ) otrzymujemy: di( t ) (8.2) ⇒ U = RL I + jωL I = ( RL + jωL ) I u( t ) = RL i( t ) + L dt Z wzoru (8.2) wynika, że impedancja zespolona cewki rzeczywistej (gałęzi RL) ma wartość: Z = RL + jωL = RL + jX L (postać algebraiczna); Z = Z e jϕ gdzie:

(postać wykładnicza)

Z = R L 2 + ( ωL ) 2 = R L 2 + ( X L ) 2 , X ωL = ar tg L . RL RL Wartość skuteczna napięcia i wartość kąta przesunięcia fazowego między prądem i napięciem Rys. 8.2. Impedancja zespolona cewki rzeczywistej wynoszą więc:  2 2 U = Z I = R L + ( ωL ) I (8.3)  ωL ψ U = ψ I + ar tg RL  Trójkąt jaki tworzą dodawane do siebie wektory odwzorowujące impedancję zespoloną cewki rzeczywistej (gałęzi RL) oraz impedancje zespolone rezystora i cewki idealnej, nosi nazwę trójkąta impedancji. Pokazano go na rys. 8.2. Dla trójkąta impedancji słuszne są zależności: RL = Z cosϕ i X L = ωL = Z sinϕ (8.4) Wartości skuteczne zespolone napięć cewki rzeczywistej i napięć elementów idealnych wchodzących w skład jej schematu zastępczego wynoszą: ϕ = ar tg

jΨ I

j(Ψ I +

π ) 2 , U = Z I e j(Ψ I +ϕ )

, U L = ωL I e U R = RL I e Stąd odwzorowywane przez nie napięcia mają przebiegi czasowe: u R ( t ) = 2 R L I sin( ωt + ψ I ) π u L ( t ) = 2 ωL I sin( ωt + ψ I + ) = 2 ωL I cos( ωt + ψ I ) 2 u( t ) = 2 Z I sin( ωt + ψ I + ϕ ) = 2 R L 2 + ( ωL )2 I sin( ωt + ψ I + ar tg

ωL ) RL

Wykresy tych przebiegów pokazano na rys. 8.3. Wykres wskazowy prądu i napięć cewki rzeczywistej pokazano na rys. 8.4. Wskazy napięć występujących na elementach idealnych, z których składa się schemat zastępczy cewki zostały narysowane w sposób pokazujący, że napięcie na całej gałęzi jest ich sumą. Tworzą one tzw. - 34 -

trójkąt napięć. Trójkąt impedancji i trójkąt napięć są trójkątami podobnymi - mają takie same kąty, a ich boki są do siebie proporcjonalne. Obydwa są trójkątami prostokątnymi. Stąd również dla trójkąta napięć słuszne są zależności: U R = U cosϕ i U L = U sinϕ (8.5)

Rys. 8.3. Przebiegi czasowe prądu i napięć cewki rzeczywistej

Rys. 8.4. Wykres wskazowy prądu i napięć cewki rzeczywistej

Kąt ϕ to kąt o jaki przebieg czasowy napięcia gałęzi wyprzedza w fazie przebieg czasowy π natężenia. Przyjmuje on wartości z przedziału 〈 0, 〉 . Wyprzedzanie natężenia przez napięcie jest 2 charakterystyczne dla cewki, przy czym dla cewki idealnej kąt przesunięcia fazowego ma wartość π (por. pkt 7.2 rozdz. 7.). W przypadku cewki rzeczywistej jest on mniejszy. To zmniejszenie 2 jest związane z występowaniem w gałęzi rezystancji. Cewka rzeczywista (gałąź RL) zachowuje się w obwodzie prądu sinusoidalnego w sposób pośredni pomiędzy cewką idealną i rezystorem idealnym (można też to interpretować jako zachowywanie się jednocześnie jak cewka idealna i jak rezystor idealny). Stąd mówimy, że ma ona charakter rezystancyjno-indukcyjny. W cewce rzeczywistej nie ma dwu odrębnych części, z których jedna byłaby idealnym rezystorem, a druga cewką idealną. Takie odrębne części występują jedynie w jej schemacie zastępczym, a więc w schemacie obwodu złożonego z idealnych elementów, będącego modelem cewki rzeczywistej. Zatem pokazane na rys. 8.3. przebiegi napięć na tych elementach mają sens wyłącznie „matematyczny” - są pomocne przy wyznaczaniu przebiegów rzeczywistych, lecz nie należy ich traktować jako przebiegów gdzieś rzeczywiście, „fizycznie” występujących. Tymi, rzeczywiście występującymi przebiegami „fizycznymi” są tu przebiegi wartości chwilowych prądu ( i( t ) ) i napięcia całej gałęzi ( u( t ) ). Parametry schematu zastępczego cewki - rezystancja, indukcyjność, reaktancja indukcyjna, impedancja, kąt ϕ , itp., mogą być wyznaczone na drodze pomiarów. Rezystancja cewki jest tą samą rezystancją, która występuje w obwodzie prądu stałego. Można ją zatem wyznaczyć zasilając cewkę napięciem stałym, mierząc napięcie ( U st ) i natężenie ( I st ), a rezystancję U obliczając z wzoru R L = st . Zasilając cewkę prądem sinusoidalnie zmiennym i mierząc I st U wartości skuteczne prądu ( I ~ ) i napięcia ( U ~ ) można wyznaczyć jej impedancję jako Z = ~ . I~ Znajomość rezystancji i impedancji umożliwia wyliczenie wszystkich pozostałych parametrów cewki. Cewka rzeczywista jest odbiornikiem. Pobiera energię z mocą o przebiegu czasowym, który można wyznaczyć jako iloczyn przebiegów napięcia i prądu - p( t ) = u( t ) ⋅ i( t ) . Uwzględniając to, że napięcie cewki rzeczywistej jest sumą napięć rezystora i induktora ( u( t ) = u R ( t ) + u L (t) ), a także biorąc pod uwagę wyprowadzone w rozdziale 7. wzory (7.4) i (7.13a) na przebiegi wartości chwilowych mocy rezystora i cewki idealnej, otrzymujemy: - 35 -

p( t ) = ( u R( t ) + u L( t ) ) ⋅ i( t ) = u R( t ) i( t ) + u L( t ) i( t ) = (8.6) = U R I [ 1 − cos( 2ωt + 2Ψ I )] + U L I sin( 2ωt + 2Ψ I ) Moc czynna cewki rzeczywistej, a więc wartość średnia jej mocy chwilowej obliczana za okres, wynosi: P = p śr =

1 2π

2π

∫ [U R I [ 1 − cos( 2ωt + 2Ψ I )] + U L I sin( 2ωt + 2Ψ I )]dωt = U R I

(8.7)

0

Wynika stąd, że moc czynna cewki rzeczywistej (gałęzi RL) jest tożsama z mocą czynną występującego w jej schemacie zastępczym rezystora. Podstawiając do wzoru (8.7) wzór (8.5) otrzymuje się jeszcze inną postać wyrażenia na moc czynną cewki: (8.8) P = U I cosϕ Współczynnik mocy cewki, definiowany jako stosunek mocy czynnej do mocy pozornej (por. pkt 6.3. rozdz. 6.), wynosi: P U I cos ϕ λ= = (8.9) = cos ϕ S UI Właśnie dlatego, w praktyce do oznaczania współczynnika mocy, na ogół nie stosuje się symbolu „ λ ” lecz oznaczenie „ cos ϕ ”. Przy danych wartościach skutecznych prądu i napięcia (a więc przy danej mocy pozornej „ S ”), o wartości „prawdziwej” mocy pobieranej przez odbiornik, tj. mocy czynnej „ P ”, decyduje kosinus kąta przesunięcia fazowego pomiędzy prądem i napięciem ϕ Rys. 8.5. Przebieg czasowy mocy cewki rzeczywistej na tle τ= Przez czas ( ϕ = ΨU −Ψ I ). przebiegów prądu i napięcia ω odpowiadający temu kątowi prąd i napięcie cewki mają przeciwne znaki (por. rys. 8.5). Moc chwilowa jest wtedy ujemna co oznacza, że w tych chwilach czasowych energia płynie z odbiornika do źródła. Jest to część tej energii, która wcześniej do odbiornika dopłynęła. Zachodzi zatem oscylacyjny przepływ energii - do odbiornika i z powrotem do źródła. Interpretowany jest on jako występowanie w obwodzie mocy biernej, w tym przypadku mocy biernej indukcyjnej (bo odpowiedzialna za jej istnienie jest cewka indukcyjna). Wartość tej mocy definiuje się dla cewki rzeczywistej (gałęzi RL) jako iloczyn wartości skutecznych napięcia, prądu i sinusa kąta przesunięcia fazowego pomiędzy nimi: (8.10) QL = U I sinϕ Jest nią zatem wartość mocy biernej cewki idealnej, występującej w schemacie zastępczym gdzie cewki rzeczywistej ( QL = U L I U L = U sinϕ - por. pkt 7.2. rozdz. 7.). Pierwszy człon wzoru (8.6) na przebieg wartości chwilowych mocy gałęzi RL to przebieg wartości chwilowych mocy rezystora, człon drugi tego wzoru opisuje przebieg wartości chwilowych mocy cewki idealnej. Ten pierwszy człon w całym okresie przebiegu ma wartości dodatnie - odpowiada Rys. 8.6. Przebiegi czasowe mocy cewki rzeczywistej (gałęzi RL) oraz mocy występujących w jej schemacie zastępczym to jednokierunkowemu pobieraniu energii rezystora i cewki idealnej przez odbiornik. Wartość średnia członu - 36 -

drugiego jest równa zeru - opisuje on zjawisko pobierania i oddawanie energii przez cewkę, a ściślej przez jej pole magnetyczne, w którym ta energia jest okresowo magazynowana. Tym razem jednak, inaczej niż w przypadku cewki idealnej, analizowanym w pkt 7.2. rozdz. 7., energia pola magnetycznego (odpowiadająca sumie obydwu pól zakreskowanych na rys. 8.6. - pola poziomo i pola zakreskowanego pionowo) nie jest w całości zwracana do źródła. Do źródła wraca jedynie energia zakreskowana poziomo - jedynie ta części energii wynika z przyjmowania przez moc p( t ) wartości ujemnych. Pozostała, zakreskowana pionowo, część energii oddawanej przez cewkę idealną, płynie nie do źródła lecz do rezystora, w którym zamienia się na energię cieplną. Transferowana jest wtedy gdy gałąź jako całość pobiera energię, lub gdy zwraca jej do źródła mniej niż jej dostarcza cewka idealna. Poszczególne rodzaje mocy definiowanych dla gałęzi RL są nawzajem uzależnione od siebie tak jak długości boków trójkąta prostokątnego: S = U I , P = U I cosϕ = S cosϕ i QL = U I sinϕ = S sinϕ . Stąd zależności te daje się odwzorowywać graficznie za pomocą tzw. trójkąta mocy (rys. 8.7). Zależności te można zapisać w postaci Rys. 8.7. Trójkąt mocy cewki rzeczywistej równania wynikającego z prawa Pitagorasa: S 2 = P 2 + QL2

(8.11)

Równanie to nosi nazwę równania mocy. Istnienie zależności S = U I , P = U I cosϕ = S cosϕ i QL = U I sinϕ = S sinϕ uzasadnia wprowadzenie jeszcze jednej wielkości charakteryzującej własności energetyczne obwodu. Jest nią moc pozorna zespolona. Jej częścią rzeczywistą jest moc czynna, częścią urojoną - moc bierna: (8.12) S = P + jQL = S cos ϕ + j S ⋅ sinϕ Moce z trójkąta mocy pokazanego na rys. 8.7. to właśnie moce zespolone (dlatego można było je przedstawić jako wektory). Moc pozorną zespoloną można wyznaczyć na podstawie wartości skutecznych zespolonych prądu i napięcia: S = S ⋅ e jϕ = U I e j(Ψ u −Ψ i ) = U e jΨ i I e − jΨ i = U ⋅ I ∗

I * = I e -jα to wartość sprzężona do I = I e jα . Słuszna jest zatem zależność: S = U I*

(8.13)

Moc czynną gałęzi RL można wyliczyć z zależności P = Re( U I * ) , a jej moc bierną z zależności Q = Im( U I * ) . Na koniec rozważań o mocach charakteryzujących zjawiska energetyczne zachodzące w gałęzi RL trzeba dodać, że w elektrotechnice przemysłowej współczynnikiem mocy nazywany Q , a więc tg ϕ . Powodem stosowania tego bywa stosunek mocy czynnej do mocy biernej P współczynnika jest łatwość z jaką, za jego pomocą daje się obliczać moc bierną na podstawie znajomości mocy czynnej. Z zależności U = Z I = ( RL + jωL ) I wynika zależność: 1 1 I = U =YU = U= Z R L + jω L

− j ⋅ ar tg

1 R L 2 + ( ωL ) 2

a także zależności - 37 -

e

ωL RL

⋅U

(8.14)

1  U =Y U I = 2 + ( ωL ) 2 R    ψ I = ψ U − ar tg ωL  R Zatem admitancja cewki rzeczywistej wynosi: 1 1 1 = Y= = Z R 2 + ( ωL ) 2 R 2 +X2 L

L

(8.15)

(8.16)

L

Jej admitancja zespolona: RL ωL 1 1 = −j Y= = 2 2 2 Z R L + jω L R + ( ω L ) R + ( ωL )2 L

(8.16a)

Parametry cewki rzeczywistej można wyznaczyć doświadczalnie. Jedną z wielu stosowanych tu metod jest pomiar przy pomocy trzech woltomierzy. PRZYKŁAD OBLICZENIOWY Celem wyznaczenia parametrów cewki połączono ją w szereg z rezystorem o znanej rezystancji R = 10 Ω i układ ten zasilono napięciem sinusoidalnym (rys. 8.8.). Pomierzono napięcia i częstotliwość. Mierniki są idealne - nie wpływają na wartości prądów i napięć obwodu. Mierzą wartości skuteczne. Ich wskazania są U1 = 50 V ; U = 230 V ; następujące: U 2 = 200 V ; f ≈ 50 Hz . Należy obliczyć indukcyjność L i rezystancję RL cewki. Obwód jest szeregowy, zatem ten sam prąd płynie przez wszystkie elementy. Napięcie na obydwu rezystorach jest w fazie Rys. 8.8. Schemat układu do pomiaru parametrów cewki z prądem, natomiast napięcie na induktorze π wyprzedza prąd o ćwierć okresu ( rad ). Pokazuje to szkic wykresu wskazowego prądu i napięć 2 układu pomiarowego przedstawiony na rys. 8.9. Przy sporządzaniu wykresu przyjęto początkowy kąt fazowy dla prądu zerowy. Jest to uprawnione - przecież interesujące nas wartości skuteczne napięć i ich wzajemne przesunięcia fazowe nie zależą od tego kąta. Napięcie u 2 ( t ) jest sumą napięć u L ( t ) i u R L ( t ) zaś napięcie u( t ) - sumą

Rys. 8.9. Szkic wykresu wskazowego prądu i napięć układu do wyznaczania parametrów cewki rzeczywistej

napięć u1( t ) i u 2 ( t ) . Napięcia te reprezentowane są na wykresie odwzorowującymi je wskazami wartości skutecznych. Dodawanie funkcji czasu zastępuje tu geometryczne dodawanie wskazów. Aby wyznaczyć wartości rezystancji i reaktancji cewki trzeba znać wartości skuteczne napięć U R L i U L . Można je

wyznaczyć z równań opisujących trójkąty napięć (rys. 8.9). Wykorzystując twierdzenie - 38 -

Pitagorasa można ułożyć dwa takie równania. Tworzą one układ dwu równań z dwiema niewiadomymi. 2 2 U 2 = ( U + U 1 RL ) + U L   2 2 2 U 2 = U R L + U L Ich rozwiązanie daje wartości: U R L = 104 V i . U L ≈ 170,8 V Wartość skuteczną prądu płynącego w obwodzie można wyznaczyć na podstawie znajomości rezystancji rezystora szeregowego R i występującego na tym rezystorze napięcia ( U1 ) korzystając z prawa Ohma: U 50 =5A I= 1= R 10 Stąd: U R L 104 X U 170 ,8 34 ,16 RL = = = 20 ,8 Ω , X L = L = = 34 ,16 Ω , L = L ≈ ≈ 0 ,1088 H 5 I 5 ω 2 ⋅ π ⋅ 50 I

8.2. Gałąź szeregowa RLC Rozważmy teraz przypadek ogólny - szeregowe połączenie wszystkich trzech, poznanych dotychczas idealnych elementów pasywnych. Tworzą one gałąź szeregową RLC (rys. 8.10). Może ona być, przykładowo, schematem zastępczym kondensatora, w którym uwzględniono rezystancję i indukcyjność przewodów doprowadzających, może być schematem zastępczym gałęzi złożonej z kondensatora i dławika połączonych ze sobą szeregowo. Zbadajmy jak od przebiegu wartości chwilowych prądu oraz wartości rezystancji, indukcyjności i pojemności elementów idealnych tworzących schemat zastępczy gałęzi zależy przebieg wartości chwilowych napięcia.

Rys. 8.10. Gałąź szeregowa RLC

Zastosujemy do tego celu metodę symboliczną. W każdej chwili czasowej napięcie gałęzi RLC jest równe sumie napięć na elementach, z których się składa jej schemat zastępczy: u(t) = u R ( t ) + u L ( t ) + uC ( t ) (8.17) Zatem wartość skuteczna zespolona napięcia gałęzi jest sumą wartości skutecznych zespolonych elementów idealnych: (8.17a) U = U R +U L +U C Przez wszystkie te elementy płynie prąd o przebiegu czasowym i( t ) i wartości skutecznej zespolonej I : I ⇒ i( t ) = I m sin( ωt + ψ I ) I = m ⋅ e jψ I = I ⋅ e jψ I . 2 - 39 -

Zależność wartości skutecznych zespolonych napięć elementów idealnych wchodzących w skład gałęzi od wartości skutecznej zespolonej natężenia prądu płynącego przez te elementy 1 opisują wzory: U R = R I , U L = jωL I = jX L I , U C = − j I = − jX C I . ωC Stąd zależność wartości skutecznej zespolonej napięcia gałęzi RLC od wartości skutecznej zespolonej natężenia prądu opisuje wzór: 1 1 (8.18) U = R I + j ωL I − j I = [ R + j ( ωL − )] I = Z I ωC ωC Wzór ten można przekształcić do postaci wykładniczej: 1 ωC R I e jΨ I

ωL −

1 2 j ⋅ ar tg (8.18a) ) e ωC Stąd funkcja opisująca przebieg czasowy napięcia gałęzi RLC: 1 ωL − 1 2 ωC ) (8.19) u( t ) = R 2 + ( ωL − ) I m sin( ωt +Ψ I + ar tg ωC R Ze wzorów (8.18) i (8.18a) wynika, że impedancja gałęzi szeregowej RLC wynosi: 1 2 (8.20a) Z = R 2 + ( ωL − ) = R 2 + ( X L − X C )2 = R 2 + X 2 ωC a kąt przesunięcia fazowego między prądem i napięciem ma wartość: 1 ωL − ωC = ar tg X L − X C = ar tg X ϕ = ar tg (8.20b) R R R Impedancja zespolona gałęzi ma wartość: 1 (8.20c) Z = R + j ( ωL − ) = R + j( X L − X C ) = R + jX ωC gdzie: 1 (8.21) X = X L − X C = ωL − ωC Wielkość definiowana wzorem (8.21) to reaktancja wypadkowa gałęzi RLC, nazywana krótko reaktancją gałęzi RLC. Zależne od wzajemnych relacji wielkości reaktancji cewki i kondensatora, wchodzących w skład gałęzi, jej reaktancja wypadkowa może mieć wartości albo dodatnie albo ujemne albo też być równą zeru. Przypadki te ilustrują trzy trójkąty impedancji pokazane na rys. 8.11. Boki tych trójkątów są wektorami - tworzą je impedancje zespolone. U = R 2 + ( ωL −

Rys. 8.11. Trójkąty impedancji gałęzi szeregowej RLC

Gdy reaktancja cewki jest większa od reaktancji kondensatora, reaktancja gałęzi ma wartość dodatnią - X = X L − X C > 0 . Dodatnią wartość ma wtedy także kąt ϕ ( ar tg π Przyjmuje on wartości z przedziału (0, ) , jak dla cewki rzeczywistej. 2 - 40 -

X L − XC > 0 ). P

Gdy reaktancja indukcyjna jest mniejsza od reaktancji pojemnościowej, reaktancja gałęzi ma wartość ujemną - X = X L − X C < 0 . Ujemny jest też kąt ϕ ( ar tg

X L − XC < 0 ). Przyjmuje P

π on wartości z przedziału (- ,0) . 2 Dla X C = X L reaktancja wypadkowa gałęzi ma wartość zerową ( X = X L − X C = 0 ). Także kąt ϕ jest równy zeru. Dla wszystkich trzech przypadków słuszne są zależności: R = Z cosϕ i X = Z sinϕ (8.22) W skrajnym, wyidealizowanym przypadku, gałąź RLC może być utworzona przez sam idealny kondensator (gdy L = 0 i R = 0 ). Impedancja gałęzi jest wówczas równa impedancji tworzącego ją kondensatora, a ta jest równa jego reaktancji pojemnościowej. Ze sposobu ich U 1 definiowania wynika, że są one zawsze dodatnie - Z C = C = = X C > 0 . Jednak reaktancja I ωC 1 1 takiej gałęzi wyliczona z wzorów (8.21) lub (8.22) ma wartość ujemną - X = 0 − =− QC , moc bierna gałęzi jest dodatnia. Ponieważ o istocie zjawisk energetycznych zachodzących pomiędzy gałęzią a źródłem decyduje wtedy cewka, stąd jest to moc bierna indukcyjna. Gdy QC > QL , moc bierna gałęzi jest ujemna,. Tym razem o charakterze zjawisk energetycznych zachodzących pomiędzy gałęzią a źródłem decyduje kondensator - moc bierna gałęzi jest zatem mocą bierną pojemnościową. Gdy Q L = QC mamy do czynienia z rezonansem szeregowym. Moc bierna cewki jest całkowicie kompensowana przez moc bierną kondensatora - oscylacje energii odbywają się wewnątrz gałęzi, a gałąź, jako całość zachowuje się tak, jak gdyby miała charakter czysto rezystancyjny.

Rys. 8.16. Trójkąty mocy gałęzi szeregowej RLC

Moce bierne cewki idealnej i idealnego kondensatora definiowane były w rozdz. 7. jako iloczyny wartości skutecznych prądu i napięcia. Interpretowane one bywają też jako amplitudy oscylacji mocy tych elementów (była o tym także mowa w rozdz. 7.). Interpretacja ta rozszerzana jest na gałąź RLC. Zgodnie z nią, moc bierna gałęzi jest wypadkową amplitudą oscylacji mocy na elementach reaktancyjnych gałęzi. Jednak zarówno iloczyn wartości skutecznych jak i amplituda jakiegokolwiek przebiegu (będąc właśnie amplitudą) muszą mieć wartość dodatnią. Tymczasem moc bierna gałęzi RLC wyliczona z wzorów (8.29) i (8.29a) może być albo dodatnia albo ujemna. Ujemną wartość ma także obliczona przy ich pomocy moc bierna gałęzi złożonej z samego kondensatora idealnego. Niekiedy, aby usunąć tę sprzeczność, jako moc bierną przyjmuje się wartość bezwzględną mocy wyznaczonej przy pomocy tych wzorów. Takie dwa różne podejścia spotykane są w praktyce elektrotechniki stosowanej. Istotne różnice występują w nich jedynie w odniesieniu do mocy biernej pojemnościowej. Niekiedy przypisuje się jej wartość ujemną, niekiedy dodatnią. W tym drugim przypadku deklaruje się wyraźnie, że chodzi o moc bierną pojemnościową (którą trzeba odejmować od mocy biernej indukcyjnej). Jednym ze sposobów takiej deklaracji jest stosowanie dwu rodzajów jednostek: varind - dla mocy biernej indukcyjnej i varpoj - dla mocy biernej pojemnościowej. Moc pozorną gałęzi szeregowej RLC wylicza się z wzoru definicyjnego S = U I . Zatem współczynnik mocy gałęzi, definiowany jako stosunek mocy czynnej do mocy pozornej (por. pkt 6.3. rozdz. 6.), wynosi: P U I cos ϕ λ= = (8.31) = cos ϕ S UI Zazwyczaj do oznaczania współczynnika mocy używa się symbolu „ cos ϕ ”. Moc pozorną zespoloną gałęzi szeregowej RLC definiuje się jako: (8.32) S = P + jQL - 44 -

Znając wartości skuteczne zespolone prądu i napięcia gałęzi, korzystając z wzoru (8.13) można ją wyznaczyć jako S = U I * . Moc czynną gałęzi jest częścią rzeczywistą otrzymanej liczby zespolonej - P = Re( U I * ) , a jej moc bierną częścią urojoną tej liczby - Q = Im( U I * ) . Trójkąt o bokach równych tym mocom to tzw. trójkąt mocy. Tworzące go moce są mocami zespolonymi (dlatego można było je przedstawić jako wektory). Trójkąt taki otrzymać mnożąc wartości skuteczne napięć tworzących boki trójkąta napięć (z rys. 8.12.) przez wartość skuteczną prądu (I). Pokazano je, dla rozważanych trzech przypadków, na rys. 8.16. Boki trójkątów impedancji (rys. 8.11.), trójkątów napięć (rys. 8.12.) i trójkątów mocy (rys. 8.16.) są do siebie proporcjonalne. Są to zatem trójkąty podobne. We wszystkich występuje kąt ϕ , który jest kątem przesunięcia fazowego pomiędzy przebiegami czasowymi napięcia i prądu gałęzi ( ϕ =ΨU −Ψ I ). PRZYKŁAD OBLICZENIOWY Obwód elektryczny złożony z dławika (z przykładu obliczeniowego z punktu 8.1.) i połączonego z nim szeregowo kondensatora zasilono prądem sinusoidalnym o przebiegu wartości π chwilowych i( t ) = 2 5 sin(314t + ) A . Napięcie na zaciskach utworzonej w ten sposób gałęzi 8 pomierzono przy pomocy woltomierza. Wynosiło ono U = 230 V . Parametry schematu zastępczego wynoszą: RL = 20,8 Ω , L ≈ 0,1088 H (por. pkt 8.1.). Należy wyznaczyć pojemność kondensatora. Schematem zastępczym analizowanego obwodu jest gałąź szeregowa RLC. Napięcie pomierzone przez woltomierz jest wartością skuteczną napięcia gałęzi. Na podstawie znajomości przebiegu wartości chwilowych natężenia prądu płynącego przez gałąź wiemy, że jego wartość skuteczna wynosi I = 10 A . Znając wartości skuteczne prądu i napięcia możemy wyznaczyć impedancję gałęzi: U 230 = 46 Ω Z= = 5 I Reaktancja wchodzącej w skład gałęzi cewki ma wartość: X L = ω L ≈ 314 ⋅ 0,1088 ≈ 34,16 Ω Dla gałęzi szeregowej słuszna jest zależność: Z 2 = R 2 + ( X L − X C )2 Otrzymuje się z niej wyrażenie na reaktancję kondensatora: X C = X L ± Z 2 − R2 Po podstawieniu wartości liczbowych otrzymujemy:  75,2 Ω X C ≈ 34 ,16 ± 46 2 − 20 ,8 2 ≈ 34 ,16 ± 41 =  - 6,87 Ω Reaktancja kondensatora nie może być ujemna, stąd drugie z uzyskanych rozwiązań jest rozwiązaniem matematycznym, które nie ma fizycznej interpretacji, stąd musimy je odrzucić. Poszukiwana wartość pojemności wynosi: 1 1 ≈ ≈ 42 ,35 ⋅ 10 -6 F = 42 ,35µF C= ω X C 314 ⋅ 75,2 W warunkach zadania podany został przebieg czasowy natężenia prądu. Umożliwia to wyznaczenie wartości skutecznej zespolonej prądu. Jednak, jak widać z powyższej analizy, nie jest to wcale potrzebne, a zastosowanie metody symbolicznej wręcz utrudnia rozwiązanie zadania.

- 45 -

8.3. Gałąź równoległa GLC Rozważmy jeszcze jeden przypadek ogólny, przypadek takiego obiektu rzeczywistego, którego schemat zastępczy tworzy równoległe połączenie wszystkich trzech idealnych elementów pasywnych, a więc gałąź równoległą GLC (rys. 8.17.).

Rys. 8.17. Schemat zastępczy gałęzi równoległej GLC

Zbadajmy jak od przebiegu wartości chwilowych napięcia oraz wartości konduktancji, pojemności i indukcyjności elementów gałęzi zależy przebieg wartości chwilowych jej prądu. Zastosujemy do tego metodę symboliczną. Niech napięcie gałęzi ma przebieg czasowy: U u( t ) = U m sin( ωt + ψ U ) ⇒ U = m e jψ U = U e jψ U 2 Dla równoległego połączenia odbiorników słuszna jest zależność: I = I G + I L + I C . Znając wartość skuteczną zespoloną napięcia oraz admitancje zespolone poszczególnych elementów, wartości skuteczne zespolone prądów można obliczyć z wzorów: 1 IG = GU , IL =−j U = − jB L U , I C = jωC U = jBC U ωL stąd: 1 1 I = G I + j ωC I − j U = [ G + j ( ωC − )] U = Y U (8.33) ωL ωL Zatem admitancja zespolona gałęzi równoległej ma wartość: 1 Y = G + j ( ωC − ) = G + j( BC − B L ) = G + jB = Y e jϕ (8.34) ωL gdzie: 1 2 (8.34a) Y = G 2 + ( ωC − ) = G 2 + ( BC − B L )2 = G 2 + B 2 ωL (jest to admitancja gałęzi) 1 ωC − ωL = ar tg BC − B L ϕ = ar tg (8.34b) G G 1 (8.34c) B = BC − B L = ωC − ωL (jest to susceptancja wypadkowa gałęzi GLC) Susceptancja wypadkowa gałęzi GLC nazywana jest także krótko susceptancją gałęzi GLC. Podstawiając wzór (8.34) do wzoru (8.33) otrzymuje się wykładniczą postać zależności pomiędzy wartościami skutecznymi zespolonymi napięcia i prądu gałęzi: ωC −

1 ωL

1 2 j ⋅ ar tg R ) e U e jΨ U ωL Stąd wartość skuteczna zespolona prądu gałęzi GLC: I = G 2 + ( ωC −

- 46 -

ωC −

1 ωL )

j(ΨU + ar tg 1 2 R (8.35) ) Ue ωL Z wartości skutecznej zespolonej prądu wyznacza się przebieg czasowy wartości chwilowych prądu jako: 1 ωC − 1 2 ωL ) (8.35a) i( t ) = G 2 + ( ωC − ) ⋅ U ⋅ sin( ωt +ΨU + ar tg G ωL W zależności od wzajemnych stosunków wartości susceptancji cewki i kondensatora, możliwe są tu trzy przypadki. Dla BC > BL susceptancja gałęzi ma wartość dodatnią. Dodatni B − BL jest też kąt ϕ - ar tg C > 0 . Dla B L > BC zarówno susceptancja gałęzi jak i kąt ϕ mają G wartości ujemne. Dla BL = BC i susceptancja gałęzi i kąt ϕ są równe zeru. Dla wszystkich trzech przypadków słuszne są zależności: G = Y cosϕ i B = Y sinϕ (8.36)

I = G 2 + ( ωC −

Rys. 8.18. Trójkąty admitancji gałęzi równoległej GLC

W skrajnym, wyidealizowanym przypadku (gdy C = 0 i G = 0 ), gałąź GLC może być π utworzona przez idealną cewkę indukcyjną. Kąt ϕ przyjmuje wtedy wartość ϕ = − rad . 2 Susceptancja gałęzi jest wówczas równa susceptancji indukcyjnej tworzącej ją cewki, a ta jest 1 I zawsze dodatnia - B L = = = X C > 0 . Jednak susceptancja takiej gałęzi wyliczona z U L ωL 1 1 wzorów (8.34c) lub (8.36) ma wartość ujemną i =− QC moc bierna gałęzi jest dodatnia - jest to zatem moc bierna indukcyjna, gdy QC > QL , moc ta jest ujemna - jest zatem mocą bierną pojemnościową. Kolejny raz spotykamy się tu z niekonsekwencją w przyjętych przez elektryków umowach terminologicznych: moc bierna pojemnościowa idealnego kondensatora ma wartość dodatnią, ta sama moc bierna pojemnościowa kondensatora będącego elementem gałęzi równoległej ma wartość ujemną. Moc pozorna S gałęzi równoległej GLC to S = U I , moc pozorna zespolona S = P + jQ = U I * .

Współczynnik mocy ma wartość λ =

P U I cos ϕ = = cos ϕ i jest zazwyczaj oznaczany S UI

symbolem „ cos ϕ ”. Moce pozorne zespolone gałęzi GLC są uzależnione od siebie nawzajem w sposób identyczny jak długości boków trójkąta prostokątnego. Stąd można je odwzorowywać graficznie jako trójkąty mocy.

Rys. 8.20. Trójkąty mocy gałęzi równoległej GLC

Trójkąty mocy dla rozważanych trzech przypadków gałęzi GLC, o różnych wartościach susceptancji kondensatora i cewki, przedstawiono na rys. 8.20. Ponieważ przy definiowaniu mocy biernej zastosowano inne określenie kąta „ ϕ ” ( ϕ =ΨU −Ψ I ) niż przy sporządzaniu wykresu wskazowego prądów gałęzi ( ϕ =Ψ I −ΨU ) więc trójkąty prądów i trójkąty mocy wyglądają nieco inaczej. Są jednak trójkątami podobnymi - są trójkątami prostokątnymi, zaś wartość kąta „ ϕ ” jest w nich taka sama (i taka sama jak w trójkątach admitancji). Równa jest ona wartości bezwzględnej kąta przesunięcia fazowego pomiędzy przebiegami czasowymi prądu i napięcia. Pomiędzy impedancją zespoloną i admitancją zespoloną danego odbiornika liniowego 1 pasywnego istnieje zależność Z = . Zatem impedancja gałęzi równoległej GLC o admitancji Y 1 zespolonej Y = G + j( BC − BL ) wynosi Z = . Mnożąc licznik i mianownik tego G + j( BC − BL ) wzoru przez liczbę sprzężoną do mianownika otrzymujemy: BC BL G +j −j Z= G 2 + ( BC − B L )2 G 2 + ( BC − BL )2 G 2 + ( BC − B L )2 Kolejne człony tego wyrażenia to rezystancja, reaktancja indukcyjna i reaktancja pojemnościowa szeregowego schematu zastępczego, równoważnego danemu schematowi równoległemu. - 49 -

PRZYKŁAD OBLICZENIOWY Dana jest gałąź równoległa GLC o schemacie zastępczym pokazanym na rysunku 8.21. π Napięcie u( t ) ma przebieg czasowy u( t ) = 2 100 sin(200 t - ) V , zaś wskazanie amperomierza 12 wynosi I = 10 A . Należy wyznaczyć wartość indukcyjności L x . Wartość skuteczna napięcia wynosi U = 100 V , wartość skuteczna natężenia - I = 10 A . Zatem 10 I admitancja gałęzi ma wartość Y = = = 0 ,1 S . U 100 Wartość susceptancji pojemnościowej wynosi BC = ω C = 200 ⋅ 400 ⋅ 10 −6 = 0,08 S . Rys. 8.21. Schemat zastępczy gałęzi z przykładu Gałąź indukcyjna rozpatrywanego obwodu składa się z dwu elementów, jeden o znanej, drugi o nieznanej indukcyjności. Wygodnie jest potraktować je jako jeden element o indukcyjności LΣ . Korzystając z wzoru (8.34a) można wyliczyć odpowiadającą tej indukcyjności susceptancję BLΣ : 0,16 S B LΣ = BC ± Y 2 − G 2 = 0 ,08 ± 0 ,12 − 0 ,08 2 = 0,08 ± 0,06 =   0,02 S Otrzymuje się dwie odpowiedzi, obydwie posiadają Wyliczonym susceptancjom odpowiadają indukcyjności: 1 1   -3  200 ⋅ 0,16 = 31,25 ⋅ 10 H = 31,25 mH  200 ⋅ 0,16 1 ==  = LΣ = 1 1 ω B LΣ   = 0 ,25 H = 250 mH  200 ⋅ 0,02  200 ⋅ 0,02 Indukcyjność wypadkowa szeregowego połączenia dwu cewek jest równa sumie indukcyjności każdej z nich - można to wykazać albo odwołując się do definicji indukcyjności (por. pkt 7.2 rozdz. 7.) albo porównując reaktancje poszczególnych cewek i reaktancję ich U szeregowego połączenia wyliczone ze wzoru definicyjnego ( X L = ). I 31,25 - 20 = 11,25 mH Jest zatem: L x = LΣ − L =   250 - 20 = 230 mH Obydwie wartości są dodatnie, istnieją więc dwa rozwiązania fizycznie interpretowalne. Dla jednej z nich (tej mniejszej) gałąź ma charakter pojemnościowo-rezystancyjny, dla drugiej (tej większej) - indukcyjno-rezystancyjny.

8.4. Źródła rzeczywiste Napięcie na zaciskach idealnego źródła napięciowego ma przebieg czasowy niezależny od prądu pobieranego ze źródła. W rzeczywistych źródłach napięciowych zarówno wartość skuteczna tego napięcia jak i jego kąt fazowy są zależne od natężenia prądu. Podobnie jest z prądem idealnego źródła prądowego i jego zależnością od napięcia na zaciskach źródła. W schematach zastępczych źródeł rzeczywistych prądu sinusoidalnego musi zatem znaleźć się element, który modeluje to zjawisko. Jest nim odbiornik pasywny o odpowiednio dobranej impedancji (admitancji) zespolonej. W źródle napięciowym jest on połączony szeregowo z jego siłą elektromotoryczną, w źródle prądowym - równolegle do jego siły prądomotorycznej. Schematy zastępcze (do metody symbolicznej) obydwu tych źródeł rzeczywistych pokazano na rys. 8.21. - 50 -

Rys. 8.22. Źródła rzeczywiste prądu sinusoidalnego a) napięciowe b) prądowe

Na ich podstawie można ułożyć równania odpowiednio, na zależność napięcia źródła od prądu i na zależność prądu od napięcia. Dla źródła napięciowego jest to równanie: (8.44) U = E−Zw I Źródłem energii sinusoidalnej są na ogół prądnice elektromaszynowe. Ich zasada działania oparta jest o zjawiska elektromagnetyczne, stąd ich impedancje wewnętrzne zespolone „ Z w ” mają charakter indukcyjno-rezystancyjny. Część rzeczywista tej impedancji jest zazwyczaj pomijalnie mała (w porównaniu z reaktancją indukcyjną), przyjmuje się więc: Z w ≈ jX w . Nosi ona nazwę reaktancji synchronicznej i oznaczana jest symbolem „ X s ”. Dla rzeczywistego źródła prądowego słuszne jest równanie: (8.45) I = J − Y w ⋅U Warunki wzajemnej równoważności źródeł napięciowego i prądowego są analogiczne do warunków równoważności źródeł prądu stałego: 1 1   Z w = Y Y w = Z w w (8.46)   J E J = E = Yw Zw  

⇔

- 51 -