esercizi di geometria solida su prismi e piramidi assegnati negli

PROBLEMI E QUESITI DI GEOMETRIA SOLIDA ASSEGNATI NEGLI ULTIMI ESAMI DI STATO

1) Esame di Stato 2004, P.N.I., sessione straordinaria, quesito 1 Calcolare l’ampiezza dell’angolo diedro formato da due facce consecutive di un ottaedro regolare, espressa in gradi sessagesimali e approssimata al secondo. [109°28'16''] 2) Esame di Stato 2005, P.N.I., sessione suppletiva, problema 1 Sono dati una piramide triangolare regolare e il prisma retto inscritto in essa in modo che una base sia la sezione della piramide con il piano equidistante dal suo vertice e dalla sua base. A) Ammesso di conoscere il volume della piramide, dire se è possibile calcolare il volume del prisma e fornire una esauriente spiegazione della risposta. B) Posto che lo spigolo della base ABC della piramide sia lungo 4 cm: 1) calcolare la misura dello spigolo della base MNP del prisma, complanare ad ABC ; 2) supposto che gli spigoli AB e MN siano paralleli, riferire il piano dei triangoli ABC e MNP a un sistema di assi cartesiani avente l’origine in A e l’asse delle ascisse coincidente con la retta AB e trovare le coordinate dei vertici di tali triangoli; 3) determinare quindi l’equazione della parabola avente l’asse perpendicolare alla retta AB e passante per i punti A, B, M e verificare che passa pure per N ; 4) dopo aver spiegato perché la trasformazione che muta il triangolo ABC nel triangolo MNP è una similitudine, trovarne le equazioni; 5) spiegare esaurientemente, col metodo preferito, com’è posizionata la circonferenza circoscritta al 3 2 4 x  3 x ; inscritta triangolo MNP rispetto al triangolo ABC. [Vprisma = Vpiramide/8; 2 cm; y  9 9 ad ABC] 3) Esame di Stato 2006, P.N.I., quesito 2 Siano AB, AC, AD tre spigoli di un cubo. Sapendo che uno spigolo è lungo s, calcolare la distanza del  3  s vertice A dal piano dei punti B, C, D.   3  4) Esame di Stato 2006, P.N.I., quesito 2 I poliedri regolari - noti anche come solidi platonici - sono, a meno di similitudini, solo cinque: il tetraedro, il cubo, l’ottaedro, il dodecaedro e l’icosaedro. Sai dimostrarlo? 5) Esame di Stato 2002, sperimentazioni autonome, sessione suppletiva, quesito 1 Esprimere in funzione dello spigolo s l'altezza di un tetraedro regolare. 6) Esame di Stato 2001, ordinamento, sessione suppletiva, problema 1 Una piramide retta, di vertice V, ha per base il triangolo ABC, rettangolo in A, la cui area è 24a2, dove a è AB 3  e che il piano della faccia VAB della piramide forma una lunghezza assegnata. Si sa inoltre che BC 5 12 con il piano della base ABC un angolo  tale che sen γ  . 13 a) Calcolare l’altezza della piramide. 24 a , calcolare la distanza del vertice C dal piano della faccia VAB. b) Controllato che essa è 5  24 96  …  5 a; 13 a 

7) Esame di Stato 1999, P.N.I., problema 2 In un piano  è assegnato il triangolo ABC, retto in B, i cui cateti AB e BC misurano rispettivamente 4 e 3. Si conduca per A la perpendicolare al piano  e sia V un punto di questa per cui VA = AB. Il candidato: a) dimostri geometricamente o algebricamente, che, come tutte le altre facce del tetraedro VABC, anche la faccia VBC è un triangolo rettangolo, il cui angolo retto è VBC; b) calcoli il volume e la superficie totale del tetraedro; c) detto M il punto medio di VA e P un punto dello stesso segmento a distanza x da V, esprima in funzione di x il volume v del tetraedro MPQK, essendo Q ed R le rispettive intersezioni degli spigolo VB e VC con il piano  parallelo ad  e passante per P; 1 2   … 8; 24  6 2 ; v( x)  8 x x  2  8) Esame di Stato 2009, P.N.I., quesito 4 «Esiste solo un poliedro regolare le cui facce sono esagoni». Si dica se questa affermazione è vera o falsa e si fornisca una esauriente spiegazione della risposta. 9) Esame di Stato 2008, P.N.I., quesito 6 I lati di un parallelepipedo rettangolo misurano 8, 9, e 12 cm. Si calcoli, in gradi e primi sessagesimali, l’ampiezza dell’angolo che la diagonale mandata da un vertice fa con ciascuno dei tre spigoli concorrenti al vertice. [61°55'39''; 58° 2' 3''; 45° 5' 55''] 10) Esame di Stato 2010, P.N.I., quesito 2 Siano ABC un triangolo rettangolo in A, r la retta perpendicolare in B al piano del triangolo e P un punto di r distinto da B. Si dimostri che i tre triangoli PAB, PBC, PCA sono triangoli rettangoli. 11) Esame di Stato 2011, P.N.I., quesito 9 Si provi che, nello spazio ordinario a tre dimensioni, il luogo geometrico dei punti equidistanti dai tre vertici di un triangolo rettangolo e la retta perpendicolare al piano del triangolo passante per il punto medio dell’ipotenusa. 12) Esame di Stato 2012, P.N.I., quesito 7 E’ dato un tetraedro regolare di spigolo l e altezza h. Si determini l’ampiezza dell’angolo formato da l e da h.