FACOLTA` DI INGEGNERIA Corso di laurea in Ingegneria

FACOLTA’ DI INGEGNERIA Corso di laurea in Ingegneria Gestionale (AG) Programma del Corso di CALCOLO 2

MODULO DI GEOMETRIA Spazi vettoriali: vettori linearmente indipendenti, generatori, basi, dimensione. Calcolo matriciale: prodotto righe per colonne, determinante e rango, metodo di Gauss e metodo degli orlati. Applicazioni lineari. Sistemi lineari. Spazi affini: sistema di riferimento, coordinate di un punto, equazioni parametriche e cartesiane di un sottospazio affine, distanza tra punti, rette e piani.

NUMERI COMPLESSI Operazioni tra numeri complessi. Coniugato e modulo. Piano complesso. Forma algebrica e forma polare. Potenze di un numero complesso. Radici n-esime aritmetiche e algebriche. Teorema fondamentale dell’algebra. Decomposizione di polinomi a coefficienti reali in fattori lineari e quadratici reali.

FUNZIONI DI PIU' VARIABILI Generalità. Campo di esistenza e grafico. Intorni di un punto nell'insieme R n {}. Proprietà verificate localmente. Punti di accumulazione. Insiemi aperti e insiemi chiusi. Frontiera e parte interna. Insiemi limitati, compatti, connessi. Limiti, continuità e componenti scalari di funzioni da Rn in Rm. Estensione per continuità. Limiti e continuità di funzioni composte. Ordinamento e operazioni tra funzioni da Rn in R. Funzioni continue con dominio compatto o connesso. Curve in Rn. Sostegno di una curva. Curve di classe Ck. Vettore tangente, retta tangente.

CALCOLO DIFFERENZIALE E OTTIMIZZAZIONE Derivate parziali. Inversione dell'ordine di derivazione. Funzioni di classe Ck a valori scalari o vettoriali. Matrice Jacobiana, gradiente e differenziale. Funzioni affini. Linearizzazione e differenziabilità. Piano tangente e vettore normale. Approssimazione lineare. Relazione tra differenziabilità, derivate parziali e classe C1. Ortogonalità tra gradiente e curve (superfici). Il gradiente come direzione di massimo accrescimento. Matrici Jacobiane di f  g , kf e f g . Derivate direzionali. Massimi e minimi relativi per funzioni da Rn in R. Test della derivata seconda nel caso n=1. Punti stazionari e teorema di Fermat. Funzioni con gradiente identicamente nullo. Punti di sella. Matrice Hessiana e condizioni necessarie o sufficienti per l'esistenza di un punto di

massimo o di minimo relativo interno. Punti di massimo o minimo relativo singolari o di frontiera. Tecniche per lo studio dei massimi e minimi di una funzione ristretta ad una curva del piano: riduzione del numero delle variabili; parametrizzazione della curva con un parametro t; metodo dei moltiplicatori di Lagrange.

INTEGRALI MULTIPLI Sottinsiemi misurabili di Rn. Frontiera di un insieme misurabile. Definizione di  f (x)dxdy per f:A-->R continua, con A misurabile e compatto. Somme di A

Riemann. Proprietà dell'integrale doppio (linearità, additività, monotonia...) ed interpretazione geometrica. Teorema della media integrale. Integrale doppio di certe classi di funzioni non continue. Formule di riduzione per integrali doppi. Definizione di integrale triplo. Integrali tripli calcolati per fili e per strati. Volume dei solidi di rotazione. Teorema di Guldino. Formula di cambiamento di variabile per integrali multipli. Integrali doppi in coordinate polari. Coordinate sferiche nello spazio. Integrali tripli in coordinate sferiche.

EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE Generalità. Equazioni del primo ordine a variabili separabili: teorema di esistenza ed unicità per il problema di Cauchy. Soluzioni "in grande" ed "in piccolo". Tecnica risolutiva per le equazioni a variabili separabili. Equazione di Manfredi, equazione di Clairaut ed equazione di Bernoulli. Equazioni lineari. Operatori differenziali lineari. Soluzione generale di un'equazione lineare nonomogenea. Equazioni lineari del primo ordine: metodo del fattore integrante e variazione delle costanti arbitrarie. Equazioni lineari a coefficienti costanti. Polinomio caratteristico P(z). Fattorizzazione dell'operatore differenziale P(D). Soluzione generale di un'equazione lineare omogenea a coefficienti costanti. Equazioni lineari a coefficienti costanti non omogenee: metodo di riduzione dell'ordine e metodo dell'annullatore.

SERIE NUMERICHE E SERIE DI POTENZE Regolarità delle successioni monotòne. Successioni definite per ricorrenza. Definizione e carattere di una serie numerica: somme parziali, serie convergenti, divergenti ed indeterminate. Condizione necessaria per la convergenza di una serie. Serie armonica e serie armonica generalizzata. Linearità. Serie a termini di segno costante. Teorema di regolarità. Criteri di confronto. Serie geometriche. Teorema di Cesàro. Criterio del rapporto e criterio della radice per successioni e per serie. Convergenza assoluta e convergenza semplice. Serie a termini di segno alterno. Criterio di Leibniz. Serie di potenze. Intervallo e raggio di convergenza. Somma di una serie di potenze.

Teorema di derivazione ed integrazione. Serie di Taylor. Esempi notevoli. Prodotti e quozienti di serie di Taylor. Applicazioni al calcolo di integrali definiti ed alla soluzione di equazioni differenziali.

Materiale didattico 

Bertsch – Dal Passo, Elementi di Analisi matematica, Aracne Editrice

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Giusti, Analisi Matematica 2, Bollati Boringhieri Marcellini – Sbordone, Esercitazioni di Matematica, Vol. 2, Liguori Editore

 Sernesi, Geometria 1, Bollati Boringheri  Artin, Algebra, Bollati Boringhieri  Ciliberto, Algebra lineare, Bollati Boringhieri