PROGRAMMA DIDATTICO MATEMATICA GENERALE (L-Z) – BASE
A.A. 2007/08 1. Infinitesimi e infiniti Definizione, confronto, infinitesimo principale, ordine di infinitesimo. Principio di eliminazione degli infinitesimi (degli infiniti). 2. Calcolo differenziale per funzioni di una variabile Rapporto incrementale e suo significato geometrico. Derivata e suo significato geometrico. Retta tangente in un punto a una curva. Punti angolosi e cuspidi. Teorema sulla continuità e derivabilità (con dimostrazione). Derivate delle funzioni elementari (derivata di y=xn, n intero positivo con dimostrazione). Regole di derivazione della somma, differenza, prodotto e quoziente di funzioni. Derivata di funzione composta e di funzione inversa. Derivate successive. Funzioni crescenti e decrescenti in un punto e relazioni col segno della derivata in tale punto (con dimostrazione). Teorema di Fermat (con dimostrazione). Teorema di Rolle (con dimostrazione) e sua interpretazione geometrica. Teorema di Lagrange (con dimostrazione) e sua interpretazione geometrica. Corollari del teorema di Lagrange. Regola I per la ricerca dei punti di massimo e minimo relativo interni di funzioni derivabili. Differenziale e suo significato geometrico. Teorema di De l’Hospital sulle forme indeterminate. Formula di Taylor con il resto secondo Peano e secondo Lagrange. Funzioni convesse e concave, strettamente convesse, strettamente concave. Punti di flesso. Concavità e convessità per funzioni derivabili. Ricerca dei massimi, dei minimi e dei flessi di funzioni derivabili (Regola I e Regola II). Asintoti. Studio di una funzione. 2. Calcolo integrale Primitive e integrale indefinito. T eorema sulle primitive (con dimostrazione). Integrali immediati. Integrazione per scomposizione, per parti (con dimostrazione della formula) e per sostituzione. Integrale definito nel senso di Mengoli-Cauchy. Area di un trapezoide. Integrale definito di Riemann. Condizione necessaria per l'integrabilità. Condizioni sufficienti di integrabilità. Proprietà dell'integrale definito. Teorema della media integrale per funzioni continue (con dimostrazione) e sua interpretazione geometrica. Teorema fondamentale del calcolo integrale (con dimostrazione).Formula per il calcolo dell'integrale definito di una funzione continua (con dimostrazione). Integrali generalizzati. 3. Funzioni reali di più variabili reali Generalità. Limiti. Continuità (teoremi di Weierstrass, di Darboux, degli zeri). Derivate parziali. Gradiente. Derivate parziali successive. Matrice Hessiana e teorema di Schwarz. Differenziabilità. Equazione dell'iperpiano tangente. Ricerca dei punti di massimo e minimo relativo interni.
