Hipoteza statystyczna Hipoteza statystyczna - przypuszczenie dotycz ce rozkładu populacji Rodzaje hipotez: podział I • parametryczne - dotycz warto ci parametru rozkładu np. wariancje dwóch populacji o rozkładzie normalnym s sobie równe • nieparametryczne - dotycz postaci funkcyjnej rozkładu populacji np.: populacja generalna ma rozkład Poissona podział II • proste - hipotezy, które jednoznacznie specyfikuj rozkład populacji generalnej np.: parametr λ w rozkładzie Poissona jest równy 3 (hipotez równie parametryczna) • zło one - hipotezy, które niejednoznacznie specyfikuj rozkład populacji generalnej np.: wariancja populacji generalnej jest wi ksza od 5 przy weryfikacji hipotez: • hipoteza zerowa (H0) - bezpo rednio sprawdzana • hipoteza alternatywna (H1) - hipoteza konkurencyjna do hipotezy H0. (H0: m=2; H1:m=5); (H0: p=0.3; H1: p>0.3); (H0: f(x)=f0(x); H1:f(x) ≠ f1(x))
Metody probabilistyczne i statystyka Wykład 3: Weryfikacja hipotez. Testy istotno ci
Małgorzata Kr towska Wydział Informatyki Politechnika Białostocka e-mail:
[email protected]
Modele statystyczne (studia zaoczne)
1
Modele statystyczne (studia zaoczne)
Weryfikacja hipotez
2
Przykład cd
Weryfikuj c dan hipotez statystyczn na podstawie zaobserwowanych wyników próby, ponosimy pewne ryzyko podj cia bł dnej decyzji. Mo liwe sytuacje ilustruje tabelka:
0.4
g1
g0
Hipoteza H Decyzja jest prawdziwa jest fałszywa decyzja poprawna decyzja bł dna przyjmujemy H 1-α β bł d drugiego rodzaju decyzja bł dna decyzja poprawna odrzucamy H 1-β α moc testu bł d pierwszego rodzaju; poziom istotno ci
f(x)
0.3
0.2
0.1
0.0
2
c
5
srednia arytmetyczna
obszar krytyczny
obszar krytyczny (K) - obszar odrzucenia hipotezy H0 w powy szym przypadku K∈ θ0;
H1: θ ≠ θ0
H1: θ < θ0
1.0
H0: θ = θ0 f(x)
f(x)
0.4
1.0
0.3
0.3
0.0
g1
g0
0.5
g0
α/2
α/2
0.0
Zn obszar krytyczny dwustronny
Modele statystyczne (studia zaoczne)
7
Modele statystyczne (studia zaoczne)
8
Wnioskowanie w testach istotno ci
Testowane hipotezy i obszary krytyczne H0: θ = θ0
H0: θ = θ0
H1: θ > θ0
H1: θ < θ0 1.0
α
0.0
0.5
g0
1.0
0.0
Zn
0.5
Zn
obszar krytyczny prawostrony
Modele statystyczne (studia zaoczne)
9
Warto
f(x)
f(x)
1.0
α
0.0
Zn
0.5
α
0.0
uα
uα
Zn
Modele statystyczne (studia zaoczne)
p (p-value)
g0
0.5
α
g0
obszar krytyczny lewostronny 0.0
1.0
1.0
g0
α
f(x)
0.5
statystyki z próby Zn nale y do obszaru krytycznego: Zn ∈K => odrzucamy H0 na korzy hipotezy H1 (przyjmujemy H1) • je eli warto statystyki z próby Zn nie nale y do obszaru krytycznego: Zn ∉K => brak podstaw do odrzucenia hipotezy H0 (co nie jest jednoznaczne z przyj ciem H0) Ad 1) Ad 2)
f(x)
g0
f(x)
f(x)
1.0
• je eli warto
10
Testy dla warto ci redniej
g0
Postaci hipotez: H0: m=m0 H1: m≠m0;
0.5
m>m0;
mα => brak podstaw do odrzucenia hipotezy H0
Przy zało eniu prawdziwo ci hipotezy H0: x ~ N m0 , n Standaryzuj c otrzymujemy statystyk U:
Warto p - najmniejszy poziom istotno ci, przy którym zaobserwowana warto statystyki testowej prowadzi do odrzucenia hipotezy zerowej. Modele statystyczne (studia zaoczne)
x=
U= która ma rozkład N(0,1). 11
Modele statystyczne (studia zaoczne)
x − m0
σ
n 12
Testy dla warto ci redniej
Testy dla warto ci redniej Model 2 Zało enia: próba losowa pobrana z populacji o rozkładzie N(m, σ); σ jest nieznane; liczno próby mała (n ≤ 30)
Model 3 Zało enia: próba losowa pobrana z populacji o rozkładzie N(m, σ); σ jest nieznane; liczno próby duza (n > 30)
Przy estymacji warto ci m korzystamy ze statystyki t Studenta z n-1 stopniami swobody: X −m 1 n t= n −1 s = ( xi − X ) 2 s n
Estymator parametru m:
Modele statystyczne (studia zaoczne)
n −1 =
X − m0 sˆ
n
sˆ =
n i =1
xi ~ N m,
s n s
Przy zało eniu prawdziwo ci hipotezy H0, otrzymujemy:
X − m0 s
1 n
Przy zało eniu prawdziwo ci hipotezy H0: x ~ N m0 , n Standaryzuj c otrzymujemy statystyk U:
i =1
t=
x=
U=
1 n ( xi − X ) 2 n − 1 i =1
x − m0 s
n
która ma rozkład N(0,1).
13
Modele statystyczne (studia zaoczne)
14
