Non solo Euclide - Istituto San Giuseppe Lugo

SCUOLA SECONDARIA DI PRIMO GRADO “SAN GIUSEPPE” Lugo (RA)

INDICE Breve storia della geometria .........................................................................

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Periodo pre-euclideo .................................................................................

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Periodo euclideo .......................................................................................

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Periodo moderno ......................................................................................

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Euclide e la sua geometria .............................................................................

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Euclide ......................................................................................................

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Gli Elementi di Euclide ............................................................................

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Il ragionamento nella matematica.............................................................

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- Il metodo sperimentale o induttivo .........................................................

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- Il metodo deduttivo ................................................................................

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La geometria euclidea ...............................................................................

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Le geometrie non euclidee.............................................................................

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La geometria iperbolica ...........................................................................

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La geometria ellittica ................................................................................

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Conclusione .......................................................................................................

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BREVE STORIA DELLA GEOMETRIA PERIODO PRE-EUCLIDEO La prima abilità matematica sviluppata dall’uomo primitivo è stata quella del contare; misurare e acquisire abilità geometriche sono invece esigenze nate molto più tardi. Forse sono state le prime comunità di uomini con dimora fissa, e quindi con necessità di predisporre confini di convivenza, a sentire tale esigenza. La parola “geometria” infatti deriva dal greco e significa “misurazione della Terra” (da “ghe”= terra e “metron”= misura ). La geometria quindi nacque con l’avvento delle grandi civiltà, quali la babilonese, l’egizia, la greca, che sentirono l’esigenza di stabilire regole che fornissero la misura dell’estensione delle loro terre. Gli antichi Egiziani possedevano alcuni elementi della geometria. Nel “papiro di Rhind”sono riportate regole per la misura di campi quadrangolari e triangolari, elementi del calcolo con le frazioni e accorgimenti pratici per la misura di certi solidi. Proclo, uno dei più autorevoli storici della matematica antica, ha detto: “Gli Egiziani furono i primi inventori della geometria; essa nacque dalla misurazione dei campi che essi dovevano sempre rinnovare a causa delle inondazioni del fiume Nilo che cancellava tutti i confini delle proprietà”. Al tempo dei Faraoni gli Egiziani svilupparono queste prime nozioni in conoscenze matematiche in alta ingegneria per la costruzione di maestosi templi e delle famose piramidi. Presso gli Egizi dunque la geometria raggiunse buoni livelli di conoscenza, ma aveva solo un carattere pratico ed utilitaristico. In Grecia la geometria diventò una scienza vera e propria. Nel V secolo a.C. nacquero infatti, in Grecia, le prime scuole matematiche. In questo periodo le civiltà egizia e babilonese cominciarono a declinare, mentre i Greci iniziarono ad assimilare le conoscenze dei popoli con cui vennero a contatto a causa di un attivo scambio di commerci e di idee. I Greci maturarono così le nozioni sperimentali apprese dagli Egiziani. Questo desiderio di ricerca era guidato da motivi diversi, sia di natura religiosa e filosofica, sia da necessità pratiche. Uno dei grandi matematici di questo periodo fu Talete. Egli passò parte della sua giovinezza in Egitto dove si era recato per ragioni commerciali. È di Talete il primo Trattato di geometria.

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Papiro matematico egiziano di Rhind È un papiro della lunghezza di circa 20 metri, conservato nel Britsh Museum di Londra, sul quale è stato copiato un testo che risale al 1800 a.C. circa.

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Talete scoprì anche che qualsiasi angolo inscritto in una semicirconferenza è retto. Per questo motivo in un teatro semicircolare tutti gli spettatori vedono la scena sotto uno stesso angolo.

Un altro grande matematico che visse nel quinto secolo avanti Cristo fu Pitagora. Fu discepolo di Talete, visitò l’Egitto, andò a Babilonia ed anche in India. Fondò a Crotone, nell’Italia meridionale, la Scuola Italica, una associazione di carattere scientifico, politico e religioso. I pitagorici seppero inscrivere il pentagono regolare in una circonferenza e congiungendo i vertici alternativamente ottennero la stella che fu il simbolo della scuola pitagorica ed ora è il simbolo dell’Italia. Pitagora dimostrò anche un importante teorema che porta il suo nome.

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Socrate (prima metà del IV secolo avanti Cristo) insegnò il metodo induttivo.

Platone (IV secolo a.C.), allievo di Socrate, fondò una famosa Accademia. Considerava la matematica l’aristocrazia delle scienze, cardine dello Stato e base di ogni sapere. Sulla porta dell’Accademia scrisse: “Chi non sa la geometria, non entri sotto il mio tetto”. Essendo stato interrogato su cosa facesse Dio rispose: “Geometrizza”.

Eudosso Da Cnido (prima metà del IV secolo a.C), costruì una teoria generale delle proporzioni tra grandezze, la quale fu riportata negli Elementi di Euclide. Egli concepì alcuni metodi fondamentali della matematica moderna. Aristotele (IV secolo a.C), fu il più celebre fra i filosofi dell’ Accademia, il “Maestro di color che sanno” come lo definì Dante. Fu un vero intelletto enciclopedico.

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PERIODO EUCLIDEO Il periodo euclideo va dal terzo secolo avanti Cristo al 1800 dopo Cristo. La geometria dell’antico Egitto aveva scopi prevalentemente pratici, mentre in Grecia si sviluppò come elemento che fiancheggiava la filosofia. Nel periodo euclideo, così chiamato per l’opera del grande matematico Euclide, la geometria cessa di essere “un episodio” della ricerca filosofica e diventa parte integrante del pensiero scientifico che si sviluppa libero da ogni altro legame.

PERIODO MODERNO Il punto di partenza della matematica moderna è tra il 1820 e il 1840, quando il russo Lobačevskij (1793-1856), l’ungherese Bolyai e il tedesco Gauss crearono le geometrie non euclidee. Sono geometrie molto interessanti che conosceremo meglio dopo aver studiato la geometria euclidea. Ma perché se ne parla così poco? Le conoscenze di geometria di quasi tutte le persone corrispondono a quelle della gente che è vissuta nel ‘700.

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EUCLIDE E LA SUA GEOMETRIA EUCLIDE

Euclide, matematico greco, visse nel quarto e terzo secolo a.C.; è forse il matematico più noto dell’antichità. Nonostante le notizie che abbiamo sulla sua vita siano molto scarse, sappiamo che fu chiamato ad insegnare matematica ad Alessandria d’Egitto, dove morì intorno al 265 a.C. Le leggende che sono arrivate a noi lo dipingono sempre come un uomo gentile e riservato. Alcuni aneddoti della vita di Euclide sono stati riportati da Proclo, ma forse non hanno alcun fondamento storico. Nel primo aneddoto ci è detto che il re Tolomeo chiese ad Euclide se non vi fosse un mezzo più breve degli Elementi per imparare la geometria, e che Euclide gli rispose che non esistono vie regie per la geometria. Questo aneddoto vuol farci capire che per Euclide era molto importante il rigore e che non concedeva mai facilitazioni a nessuno, neppure al re. Nel secondo aneddoto si narra che un discepolo, dopo aver imparato alcuni teoremi, chiese ad Euclide: “Maestro, quale utilità c’è ad imparare queste cose?”. Euclide allora consegnò una moneta a quel discepolo e lo cacciò dalla sua scuola. Questo per far capire che Euclide non cercava dei vantaggi concreti dal suo lavoro, ma amava ragionare e lavorare con la matematica. Euclide fu maestro di Archimede.

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Un’opera di Euclide fu intitolata “Dati”: tratta di una categoria di preposizioni, chiamate appunto con tale nome perché ognuna afferma l’esistenza di una certa figura di cui si conoscono certi elementi, o dati, di posizione o di grandezza. Nell’opera “Fenomeni” Euclide diede una descrizione della sfera celeste dal punto di vista geometrico. Egli si occupò anche di musica e di ottica, materiale sul quale sembra abbia scritto due brevi trattati. Scrisse anche l’opera della “Divisione delle figure”; in essa è esposto come dividere una data figura in parti aventi fra loro relazioni prestabilite.

GLI “ELEMENTI” DI EUCLIDE

Una pagina degli Elementi di Euclide in un codice del X secolo

(Firenze, Bibilioteca Mediceo-Laurenziana) 9

La fama di Euclide è basata sugli “Elementi”, opera composta intorno al 300 avanti Cristo, nella quale si trova raccolto quanto era stato conseguito fino ad allora della geometria greca. Si compone di 13 libri: 

nei primi 4 libri si trovano i teoremi fondamentali della geometria piana;

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nel quinto e nel sesto libro è sviluppata la teoria delle proporzioni vengono e introdotte le grandezze incommensurabili;

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i libri settimo, ottavo, nono, trattano di aritmetica;

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il decimo libro da una classificazione di tipo geometrico dei numeri irrazionali;

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nei libri undicesimo e dodicesimo sono esposti i temi fondamentali della geometria solida;

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nel tredicesimo sono costruiti i primi poliedri regolari, detti anche solidi platonici, e si dimostra che non ve ne sono altri.

Con gli Elementi Euclide intese ordinare la geometria in forma sistematica e deduttiva. Gli Elementi sono il testo più ristampato dopo la Bibbia. E’ stato ricopiato ininterrottamente in tutte le lingue del mondo a mano fino ad arrivare a noi nella lingua arabica, per poi essere tradotta in latino nel 1100 d.C. e nelle lingue europee nel 1500. La prima stampa uscì a Venezia nel 1482. Quando si sviluppò il gusto dei “commenti” alle opere classiche, il capolavoro euclideo si collocò naturalmente anche al centro di tali interessi. Fu in questo contesto che nel IV secolo dopo Cristo il matematico Teone di Alessandria volle mettere a punto un’edizione emendata degli Elementi di Euclide. Questa rielaborazione costituì il testo base di ogni edizione degli Elementi dai tempi della Grecia antica fino all’ottocento.

IL RAGIONAMENTO NELLA MATEMATICA “Ci piaccia o no, viviamo in un’epoca in cui tutti ci imbattiamo nei risultati delle scienze esatte in ogni angolo della strada, sia che le disprezziamo, sia che tremiamo davanti ad esse, sia che le teniamo in pregio. L’unica cosa che non potremo mai fare è quella di bandirle, perciò il miglior consiglio che si può dare a chiunque è quello di imparare a comprendere, nella misura delle sue possibilità, tanto le scienze esatte quanto gli scienziati”. (James B. Conat) La matematica è oggi uno dei campi del sapere più vasti che siano mai stati creati dall’intelletto umano. Nessun matematico dei nostri tempi sarebbe in grado di abbracciare

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completamente il vastissimo settore che porta il nome di “matematica” che è una scienza dallo “sviluppo esplosivo”.

Il metodo sperimentale o induttivo Uno dei metodi usato dagli scienziati per scoprire conoscenze nuove consiste nel compiere esperimenti. Questo metodo è usato soprattutto nei laboratori. Si chiama metodo sperimentale o del ragionamento induttivo. Facciamo un esempio. Ritagliamo alcuni triangolo di carta, di varie dimensioni. Strappiamo ciascun triangolo in tre pezzi, con un vertice in ogni pezzo, e disponiamoli in questo modo:

Controllando con un righello, vediamo che i tre angoli formano un angolo piatto. Questo esperimento lascia supporre che la somma degli angoli interni di un triangolo sia di 180°. Ma per quanti triangoli consideriamo non potremo mai essere certi che la somma degli angoli di un qualsiasi triangolo sia di 180°: potrebbe esistere qualche triangolo che non dà questo risultato. Quindi, per tutte le conclusioni che si ottengono da esperimenti di questo tipo, diciamo che l’affermazione è probabilmente esatta. Le idee scoperte per mezzo di questo metodo induttivo sono spesso vere, ma non sempre necessariamente vere.

Il metodo deduttivo Supponiamo di aver già dimostrato che la somma degli angoli interni di un triangolo è di 180°. La somma degli angoli di un qualsiasi poligono è uguale alla somma degli angoli interni dei triangoli che lo compongono. 11

Possiamo così concludere che la somma degli angoli interni di un poligono è uguale a 180°X (n-2). Siamo allora partiti da una affermazione già dimostrata e siamo arrivati con ragionamento ad una nuova conclusione. Questo tipo di ragionamento si dice deduttivo. ATTENZIONE: le conclusioni ricavate da un ragionamento deduttivo sono “verità” che

dipendono dalle idee di partenza!

LA GEOMETRIA EUCLIDEA La Geometria studia la forma, l’estensione e la posizione dei corpi, che si dicono proprietà geometriche. La geometria fu impostata da Euclide in modo completamente nuovo: divenne “assiomatica deduttiva”. Assiomatica perché è basata sugli assiomi; deduttiva perché il metodo di ragionamento usato è quello deduttivo.

I concetti di punto, retta e piano sono primitivi, quindi non possono essere definiti. Con questi elementi primitivi si possono costruire tutte le altre figure geometriche. Noi li abbiamo paragonati ai pezzi del Lego, perché anche con gli “elementi primitivi” del Lego noi costruiamo tantissimi “oggetti”.

Anche gli assiomi (o postulati) sono proprietà primitive e non si dimostrano; devono tuttavia essere coerenti tra loro. Ecco alcuni postulati: 12

1. per un punto passano infinite rette; 2. per due punti passa una ed una sola retta; 3. per tre punti non allineati passa un solo piano; 4. per una retta passano infiniti piani;

Abbiamo paragonato gli assiomi alle regole del gioco, perché anche queste devono essere accettate così come sono, ma non devono presentare delle contraddizioni.

Allora la geometria non è altro che un bel gioco! Con il nostro giocattolo (contenitore con infiniti punti, rette e piani) e le regole del gioco (postulati) noi facciamo geometria applicando il metodo deduttivo:

PUNTI

RETTE

PIANI

POSTULATI

Segmento

Semiretta Angolo

Segmenti consecutivi

Angolo piatto Angolo retto Angolo acuto

Segmenti adiacenti Angolo ottuso

Spezzata Angoli complementari

Spezzata chiusa non intrecciata

Poligono 13

LE GEOMETRIE NON EUCLIDEE Molte persone sono convinte che la geometria sia “unica”, forse perché a scuola hanno studiato solo la geometria euclidea, la geometria cioè che risale ad Euclide, matematico del terzo secolo avanti Cristo. Coloro che pensano che esista solo la geometria euclidea forse non hanno chiaro neppure il concetto di geometria come teoria assiomatica che si basa sugli elementi primitivi (elementi del lego) e sui postulati o assiomi (regole del gioco). Inoltre queste persone non sanno che anche la geometria ha una sua storia ed una sua evoluzione. Gli assiomi sono “regole” indiscutibili e non contradditorie e, come le regole del gioco, possono essere cambiate, ma … si fa un altro gioco! Gli assiomi inventati da Euclide sono quelli che hanno dato origine alla geometria euclidea. Fra questi assiomi ce n’è uno, il V, da tenere molto presente: “Data una retta ed un punto fuori di essa, esiste una ed una sola retta che passa per quel punto ed è parallela alla retta data”. Nel XIX secolo alcuni matematici decisero di cambiare questo postulato e nacquero così le geometrie non euclidee (se si cambia una regola del gioco, cambia il gioco; se si cambia un postulato, cambia la geometria).

GEOMETRIA EUCLIDEA

IPERBOLICA

ELLITTICA

- Euclide -

- Lobačevskij -

- Riemann -

300 a.C.

1793-1856

1826-1866

POSTULATI 1.

1.

1.

2.

2.

2.

3.

3.

3.

4.

4.

4.

5. Data una retta r ed un punto P fuori di essa, esiste una ed una sola retta che passa per quel punto ed è parallela alla retta data

5. Data una retta r ed un punto P fuori di essa, per P passano infinite rette non incidenti r. Due di esse si dicono parallele.

5. Tutte le rette si incontrano, quindi non esistono rette parallele. 6. la retta è una linea chiusa.

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LA GEOMETRIA IPERBOLICA Nel 1829, N. Lobacevskij , e più o meno contemporaneamente l'ungherese J. Bolyai, costruirono una geometria, risultata poi altrettanto coerente matematicamente di quella di Euclide, secondo la quale: Per un punto esterno a una retta passano infinite rette che non incontrano la retta data. Due di esse incontrano la retta data all’infinito e vengono chiamate parallele alla retta data. Come conseguenza: In un triangolo, la somma degli angoli interni è minore di 180° Uno dei “modelli” di geometria iperbolica è stato ideato da Klein:

Come si può osservare, tracciata la retta r ed il punto P, si possono trovare due rette che incontrano r all’infinito (cioè sulla circonferenza), e ci sono infinite rette che passano per P e non incontrano r.

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In figura 1, ad esempio, P è un punto iperbolico, mentre non lo sono A e B; AB è una retta iperbololica, inoltre RS, quale parte della retta TU, è un segmento. In figura 2, se si considera il punto P, le due corde a e b passanti per P e per gli estremi della corda c sono le due parallele iperboliche che da P si possono condurre alla retta c. Così tutte le rette (corde) passanti per P si dividono in due classi: le non secanti, come la g, dette anche iperparallele e le secanti come la s. Si osservi in figura la definizione di semipiano, di angolo e di semiretta (che parte dal punto P).

Si noti come l'assioma delle parallele, nel nostro piano non sia valido. Infatti, ammettendo la definizione di rette parallele come due rette complanari che non hanno alcun punto in comune, dato un punto P ed una retta r, da P alla retta r si possono condurre due parallele PA e PB.

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Si ricordi che A e B non sono ammissibili come punti perché stanno sulla circonferenza e che, perciò, l'affermazione che le due rette PA e PB non hanno punti in comune con la retta r è corretta.

GEOMETRIA ELLITTICA di RIEMANN

Ricordiamo i due fondamentali postulati della geometria ellittica:  Tutte le rette si incontrano, quindi non esistono rette parallele.  La retta è una linea chiusa Come conseguenza: In un triangolo, la somma degli angoli interni è maggiore di 180°. Il modello ellittico, che prende il nome da RIEMANN (1826 - 1866), viene costruito sulla superficie sferica euclidea facendo cadere l'ipotesi dell'infinità della retta e chiamando "punti" le coppie di punti sulla sfera euclidea diametralmente opposti; "rette" i cerchi massimi della sfera. Consideriamo una sfera la cui superficie sia il nostro "piano" e i cui punti rimangano "punti" e le cui circonferenze massime siano le nostre rette. Per comprendere cosa c'entrino le circonferenze massime con le "rette", basta ricordare che nel piano la distanza più breve tra due punti è quella che percorre la linea retta, mentre sulla superficie sferica è quella che percorre l'arco di circonferenza massima passante per essi . In base a tale modello, dunque, una "retta" è una linea finita e chiusa. Si osservi che su tale "piano" si possono disegnare "triangoli" nei quali la somma degli angoli interni è maggiore di due angoli retti; che per due "punti" passa una "retta" ed una sola (una circonferenza massima); ma che non è possibile condurre neanche una "parallela" ad una data "retta". E' facile intuire come nel caso del modello ellittico tutti i cerchi massimi sono incidenti e, pertanto, non esistono parallele. Questa geometria, per mancanza di rette parallele, è stata detta ellittica. Come si può osservare, tutte le rette si incontrano (non esiste una circonferenza massima che non incontra un’altra circonferenza massima). Per capire che ora stiamo facendo una geometria completamente diversa da quella euclidea, è sufficiente pensare che ora possiamo disegnare un triangolo con due angoli retti, anzi anche 17

con tre angoli retti, mentre sappiamo che nella geometria euclidea la somma di tutti e tre gli angoli di ogni triangolo è di 180°.

CONCLUSIONE Cerchiamo ora di rispondere a due domande: 1. Perché continuiamo a studiare con tanto interesse la geometria euclidea? 2. Perché le geometrie non euclidee sono tanto importanti?

La geometria euclidea ci aiuta a studiare con facilità il mondo in cui viviamo e le proprietà delle figure geometriche che disegniamo. Possiamo dire che viviamo in un mondo euclideo. Ma se pensiamo all’immenso universo e se tentiamo di studiarlo utilizzando la geometria euclidea, ben presto incontriamo notevoli difficoltà. Secondo Einstein questo dipende dal fatto che noi usiamo la geometria “sbagliata”. Per studiare l’universo dobbiamo servirci della geometria

ellittica

di

Riemann.

EUCLIDE

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RIEMANN

LOBAČEVSKIJ

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