Nota integrativa n.9 – La risposta alla funzione

Anno Accad. 2003/2004 II anno :Corso di Laurea in Ing. Elettrica– Nuovo Ordinamento Corso di Principi di Ingegneria Elettrica (prof.G.Lupò)

Nota integrativa n.9 – La risposta alla funzione impulsiva nelle reti lineari. Nella caratterizzazione dinamica delle reti assumono un ruolo fondamentale sia le soluzioni della equazione algebrica associata all’omogenea (esprimibili come frequenze naturali k o attraverso le costanti di tempo k =-1/k, reali o complesse coniugate) sia l’integrale particolare. Poiché le soluzioni k sono negative o a parte reale negativa nei circuiti reali (dissipativi), l’integrale particolare può essere costituito, se individuabile, dalla soluzione secolare o a tempo infinito ovvero dalla soluzione a regime (es. stazionario, sinusoidale, periodico, etc). Ne caso di forzamento polinomiale, esponenziale o cisoidale (ossia costituito da una combinazione di funzioni esponenziali e trigonometriche), la soluzione secolare sarà del tipo polinomiale, esponenziale o cisoidale; il principio di identità applicato al sistema differenziale ci permette di valutare completamente l’integrale particolare e quindi l’integrale completo. Laddove il forzamento non fosse del tipo suddetto o addirittura non esprimibile analiticamente (si pensi ad esempio ad una tensione indotta da un fulmine o, più semplicemente, al segnale derivante da un microfono), l’evoluzione delle grandezze nella rete potrà essere ricondotta a delle risposte “canoniche” ossia a forzamenti “standard”. Forzamenti standard fondamentali sono la sollecitazione “a gradino” e la sollecitazione “ad impulso”. La prima sembra più “accessibile” anche dal punto di vista sperimentale, la seconda si presenta più adatta ad una formulazione analitica compatta. La funzione a gradino Per una utile presentazione della funzione a gradino (che ci permetterà di interpretare meglio la funzione impulsiva), consideriamo una funzione continua e generalmente derivabile del tipo

 0 per t  (t 0  )   1 U  (t  t 0 ) (t  t 0 ) per (t 0  )  t  (t 0  )  2  1 per t  (t 0  ) 

U 1

 t0 

Definiamo funzione a gradino di valore unitario applicato nel punto t0 la funzione

 0 per t  (t 0  )  U (t  t 0 )  lim 0 U  (t  t 0 )   1 per t  (t  ) 0 

t

La funzione a gradino risulta discontinua nel punto di applicazione. Funzione impulsiva Consideriamo la funzione

P

 0 per t  (t 0  )

  1 P (t  t 0 ) per (t 0  )  t  (t 0  )  2  0 per t  (t 0  ) 

1/(2)

 t0 

Tale funzione può essere considerata la derivata dalla funzione U. Una proprietà notevole della funzione suddetta è la seguente 

t0  



t0  

 P (t  t 0 )dt 

 P (t  t 

0

)dt 1

Al tendere a zero di , il valore di P tende ad infinito. La funzione impulsiva unitaria del 1° ordine (impulso di Dirac nell’istante t0) viene definita nel modo seguente:

 0 per t  t 0  b 1 se t 0  (a, b)  (t  t 0 )   (t  t 0 )dt      0 se t 0 (a, b) a Nell’ambito della teoria delle distribuzioni, la funzione impulsiva può essere considerata la derivata della funzione a gradino. La funzione P può essere considerata come la differenza tra due gradini, uno di valore 1/2 applicato in t0- e l’altro di valore -1/2 applicato in t0+. Possiamo quindi pensare di reiterare il procedimento precedente ed arrivare alla definizione di impulso del 2° ordine (doppietto, costituito da due impulsi del primo ordine “contigui” e di segno opposto, di valore illimitato) e degli impulsi di ordine superiore. Campionamento di una funzione f(t) Consideriamo una funzione f(t) generalmente continua e derivabile. Volendo descrivere tale funzione in un intervallo (0,t1) si può immaginare di suddividere l’intervallo in N sottointervalli di ampiezza = t1/N e di considerare la funzione f*(t) (di tipo “a scaletta) di valore costante nei sottointervalli e pari al valore della funzione f(t) nell’estremo sinistro. f(t) f*(t)

1

k

k+ 

1

t1

La funzione f*(t) si “compone” con funzioni “finestra” del tipo P(t-k), ma di ampiezza pari al valore che la funzione f(t) ha nell’estremo sinistro del sottointervallo:

t

N

f * (t )   f ( k )  P (t   k )   k 1

Per N, 0 e f*(t)f(t). Pertanto possiamo concludere che la funzione f(t) può essere descritta, nell’intervallo suddetto, attraverso i “campioni” f() “filtrati” da impulsi di Dirac1: t1

f (t )   f ( )   t   dt 0

Risposta forzata (integrale di convoluzione) Considerata una rete lineare passiva, tempo-invariante, a riposo all'istante to, sollecitata dal forzamento f(t) (in tensione o corrente), la risposta (tensione o corrente di lato) yf(t) (evoluzione forzata) può quindi essere espressa per ogni istante t>to dalla sovrapposizione “contemporanea” dei termini componenti la f(t) e quindi dall'integrale di convoluzione t

y f (t ) 

 f ( )  ht   d

t0

dove h(t-) è la risposta ad un forzamento impulsivo unitario centrato nell'istante generico  (to