probabilità_combinatoria - Liceo Scientifico Fermi Monticelli

PROBABILITÀ E CALCOLO COMBINATORIO

Teoria della probabilità Definizione classica della probabilità Problema di partenza In un sacchetto ci sono 6 palline bianche e 4 palline nere. Tranne che nel colore, le palline sono identiche: sono fatte dello stesso materiale, hanno le stesse dimensioni, sono perfettamente sferiche, ugualmente levigate e così via. Infilo una mano nel sacchetto, senza guardarvi dentro, e estraggo una pallina a caso. Qual è la probabilità che la pallina estratta sia nera? 

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Le palline in tutto sono 6+4 = 10. Estraendo una pallina ho 10 casi possibili. Non ho alcun motivo di pensare che qualche pallina sia privilegiata rispetto alle altre, cioè abbia una maggiore probabilità di essere estratta. Perciò i 10 casi possibili sono anche equiprobabili. Fra questi 10 casi possibili, ci sono soltanto 4 casi in cui la pallina estratta è nera. Questi sono i casi favorevoli all'evento aspettato.

L'evento "pallina estratta nera" ha perciò 4 possibilità su 10 di verificarsi. Definisco la sua probabilità come il rapporto tra i casi favorevoli e quelli possibili e ottengo: probabilità (pallina nera) = 4/10 = 0,4 = 40% La risoluzione di questo problema ci fornisce lo spunto per dare una definizione di probabilità di un evento incerto, casuale o aleatorio.

Definizione di probabilità (a priori o classica) secondo Laplace La probabilità che si verifichi un dato evento (E) è il rapporto fra il numero (s) dei casi favorevoli all'evento stesso e il numero (n) dei casi possibili, purché tutti i casi considerati siano ugualmente probabili.? Nota che nella definizione si parla di casi equiprobabili?

p(E) = s/n

Esempio 1. Lanciando una moneta, qual è la probabilità che esca testa? I casi possibili sono 2, testa e croce {T, C}, i casi favorevoli sono 1 {T} p(testa) = 1/2 Esempio 2. Lanciando un dado, qual è la probabilità che esca il 5? I casi possibili sono 6, {1, 2, 3, 4, 5, 6}, i casi favorevoli sono 1 {5} p(5) = 1/6 Esempio 3. Estraendo una carta da un mazzo di 40, qual è la probabilità che sia una figura? I casi possibili sono 40, i casi favorevoli sono 12, perché le figure sono 12 p(figura) = 12/40

Il principio di indifferenza o della ragione sufficiente secondo Laplace Per definire la probabilità si usa il concetto di eventi equiprobabili. Questo non va bene perché per definire un concetto non si può usare il concetto stesso, altrimenti la definizione diventa circolare. E non definisce niente. Perciò è necessario chiarire che cosa si intende per eventi equiprobabili. A tale scopo si può introdurre il concetto del principio della ragione sufficiente o principio di indifferenza, il quale asserisce che: dato un gruppo di eventi, se non ci sono valide ragioni per pensare che qualche evento si verifichi più o meno facilmente? degli altri, allora tutti gli eventi del gruppo si devono considerare equiprobabili. Nota. Per calcolare il numero dei casi possibili e di quelli favorevoli, in molti casi serve il calcolo combinatorio di cui ci occuperemo tra poco.

Come si può esprimere la probabilità: numero, rapporto, percentuale La probabilità di un evento si può esprimere: a) come frazione, ad esempio 3/4 b) come numero decimale, ad esempio 3/4 = 3 : 4 = 0,75 c) come percentuale, ad esempio 0,75 = 75% Nota. Per trasformare un rapporto in una percentuale si divide il numeratore per il denominatore e si moltiplica il risultato per 100.

Estremi della probabilità La probabilità di un evento p(E) è sempre un numero compreso fra 0 e 1: 0