prodotto scalare e prodotto vettoriale

PRODOTTO SCALARE E PRODOTTO VETTORIALE Le GRANDEZZE VETTORIALI come la VELOCITA’, l'ACCELERAZIONE, la FORZA , sono caratterizzate da regole di somma, sottrazione e prodotto diverse da quelle che governano le quantità scalari, che seguono invece le comuni regole dell'algebra. In questo contesto il prodotto tra due vettori può dare come risultato uno scalare (e in questo caso si parla di PRODOTTO SCALARE ) o un vettore (e allora si parla di PRODOTTO VETTORIALE) PRODOTTO SCALARE In notazione matematica, indicando i vettori con lettere minuscole in grassetto, il prodotto scalare tra il vettore a e il vettore b dà, come detto, un numero c e tale operazione si indica nel modo seguente: c = a • b. Il prodotto scalare gode delle seguenti proprietà:  c = a b cosθ, se con θ si indica l'angolo più piccolo tra a e b. Si vede chiaramente che il prodotto scalare c è nullo, oltre quando uno dei due vettori è nullo, anche quando a e b sono ortogonali tra loro (θ = 90º);  il prodotto scalare gode della proprietà commutativa e di quella distributiva. a = (ax , ay , az)

b = (bx , by , bz)

a • b = ax b x + ay b y + az b z

PRODOTTO VETTORIALE In notazione matematica, indicando i vettori con lettere minuscole in grassetto, il prodotto vettoriale tra il vettore a e il vettore b dà, come detto, un vettore c e tale operazione si indica nel modo seguente: c = a  b. Il prodotto esterno gode delle seguenti proprietà:  la direzione di c è perpendicolare al piano individuato dai vettori a e b;  il verso di c è quello che dalla sua "punta" appare antioraria la rotazione che porta il vettore a sul vettore b. (vedi figura);

 il modulo di c è pari a c = absenθ, se con θ si indica l'angolo più piccolo tra a e b ed è pari all'area del parallelogramma che ha per lati i vettori del prodotto esterno. Il modulo di c è nullo, oltre quando uno dei due vettori è nullo, anche quando i due vettori a e b appartengono alla stessa direzione (θ = 0º o θ = 180º), mentre è massimo se essi sono perpendicolari (θ = 90º);  per completezza si aggiunge che il prodotto esterno è anticommutativo e per esso non vale la proprietà associativa, mentre gode della proprietà distributiva

a = (ax , ay , az) c=a  b

b = (bx , by , bz) c = (cx , cy , cz)

cx = a y b z - az b y c y = a z b x - ax b z cz = a x b y - a y b x