Soluzioni_Fis_Gen____F_Gen___F1___F2____22_2_2012

II Appello

Fisica Generale I

Cognome Voto

Nome

22.02.2012

n. matricola

Esercizio n. 1. Una massa puntiforme m è collegata ad un filo inestensibile di lunghezza L = 1 m ancorato all’altra estremità nel punto O (vedi figura). Inizialmente la massa è mantenuta ferma con il filo posto in posizione orizzontale. Nel punto O’, posto a distanza d al di sotto del punto O, è presente un perno. Ad un certo istante la massa viene lasciata, e quando si trova in posizione verticale, il filo viene fermato nel punto O’ dal perno. Determinare la minima distanza d alla quale deve essere posto il perno affinché la massa m possa compiere un giro completo attorno al perno mantenendo il filo sempre in tensione.

L

O

m

d

O’

La condizione limite per poter effettuare il giro attorno al perno lungo la traiettoria circolare di raggio L – d si ottiene imponendo che la tensione del filo sia nulla nell’istante in cui la massa si trova sulla verticale sopra al perno: mv12  mg  0 (Ld ) 1 Dalla conservazione dell’energia si ha inoltre: mv12  mg L  2( L  d )  0  v12  2 g( 2d  L ) 2 3 da cui, sostituendo nella prima equazione si ottiene: d  L  60 cm 5

Esercizio n. 2. Una massa puntiforme di valore 3m è attaccata ad un estremo di una sbarretta rigida di lunghezza L e massa trascurabile. Inizialmente il sistema è fermo in assenza di forze esterne. Una seconda massa, di valore m, viaggia con velocità v0 in direzione ortogonale alla sbarretta (vedi Figura). Ad un certo istante la massa m urta contro l’estremità libera della sbarretta e vi rimane attaccata. Determinare la velocità del centro di massa e la velocità angolare del sistema rigido dopo l’urto. Eseguire i calcoli con L = 40 cm e v0 = 2 m/s

y L x

3m v0 m

Dalla conservazione della quantità di moto si ha:

  mv0  4mvCM

 1  vCM  v0  ( 0.5 m / s ) uˆ y 4

Il centro di massa si muove di moto rettilineo uniforme in direzione y lungo la retta x = ¼ L Dalla conservazione del momento della quantità di moto rispetto al centro di massa , proiettando lungo l’asse z orientato in direzione uscente dal foglio si ha: 2

mv0

2

3L v 3  1   (m L   3m L  ) f   f  0  5 rad / s 4 L 4  4 

angolare finale del sistema intorno al centro di massa.

in senso antiorario, dove f

è la velocità

Esercizio n. 3 Si consideri un tubo di lunghezza 2L, avente sezione S1 per metà della sua lunghezza e sezione S2 per l’altra metà (vedi figura). Nel tubo, munito di due tubi piezometrici, scorre un fluido incomprimibile di densità ρ. In corrispondenza della strozzatura è presente un emettitore E di onde sonore, mentre alle due estremità del tubo sono posti due rivelatori R1 e R2 . Sapendo che nel primo tratto la velocità del fluido è pari a v1 e che nei due tubi piezometrici si osserva che il livello del fluido sale fino alle quote h1 e h2 rispettivamente, si calcoli la velocità v2 del fluido nella seconda parte di tubo. Si calcoli inoltre la differenza tra tempi impiegati dall’onda generata dall’emettitore per giungere ai due rivelatori. Si trascurino le dimensioni di E, R1 e R2 e si eseguano i calcoli numerici con: L = 70 cm, v1 = 2 m/s, h1 = 40 cm, h2 = 20 cm, velocità del suono nel fluido vs = 1500 m/s Dall’equazione di Bernoulli dato che z1 z2 : ( pa  gh1 ) 

1 2 1 v1  ( pa  gh2 )  v22 2 2

Quindi : v2  v12  2 g( h1  h2 )  2.8 m / s I tempi impiegati dall’onda per raggiungere i due rivelatori sono rispettivamente

t1 

L ; vs  v1

t2 

Da cui t1  t2  L

L vs  v2

v1  v2  1.5  106 s ( vs  v1 )( vs  v2 )

Esercizio n. 4 n moli di gas perfetto monoatomico eseguono un ciclo composto dalle tre seguenti trasformazioni: una espansione libera AB, una compressione adiabatica reversibile BC caratterizzata da un lavoro WBC ed infine una trasformazione isobara reversibile CA . Si calcolino la temperatura TC e la variazione di entropia dell’universo SU . Si effettuino i calcoli con n = 3, TA = 300 K ; pA = 2×105 Pa e WBC= - 3.7×104 J .

Nelle prime due trasformazioni si ha:

U AB  0  QBC  0



TA  TB  WBC  U BC  ncv ( TB  TC )  ncv ( TA  TC )

Per calcolare SU , essendo per l’intero ciclo Sgas = 0, si ha:

T  SU  Samb  S gasCA  nc p ln  A   91 J / K  TC 



TC  TA 

WBC  1289 K ncv

p

A

C

B V

II Appello

Fisica Gen (V. O.)

Cognome Voto

Nome

22.02.2012

n. matricola

Esercizio n. 1. Una massa puntiforme m è collegata ad un filo inestensibile di lunghezza L = 1 m ancorato all’altra estremità nel punto O (vedi figura). Inizialmente la massa è mantenuta ferma con il filo posto in posizione orizzontale. Nel punto O’, posto a distanza d al di sotto del punto O, è presente un perno. Ad un certo istante la massa viene lasciata, e quando si trova in posizione verticale, il filo viene fermato nel punto O’ dal perno. Determinare la minima distanza d alla quale deve essere posto il perno affinché la massa m possa compiere un giro completo attorno al perno mantenendo il filo sempre in tensione.

L

O

m

d

O’

La condizione limite per poter effettuare il giro attorno al perno lungo la traiettoria circolare di raggio L – d si ottiene imponendo che la tensione del filo sia nulla nell’istante in cui la massa si trova sulla verticale sopra al perno: mv12  mg  0 (Ld ) 1 Dalla conservazione dell’energia si ha inoltre: mv12  mg L  2( L  d )  0  v12  2 g( 2d  L ) 2 3 da cui, sostituendo nella prima equazione si ottiene: d  L  60 cm 5

Esercizio n. 2 n moli di gas perfetto monoatomico eseguono un ciclo composto dalle tre seguenti trasformazioni: una espansione libera AB, una compressione adiabatica reversibile BC caratterizzata da un lavoro WBC ed infine una trasformazione isobara reversibile CA . Si calcolino la temperatura TC e la variazione di entropia dell’universo SU . Si effettuino i calcoli con n = 3, TA = 300 K ; pA = 2×105 Pa e WBC= - 3.7×104 J .

p

A

C

B V

Dalla conservazione della quantità di moto si ha:

  mv0  4mvCM

 1  vCM  v0  ( 0.5 m / s ) uˆ y 4

Il centro di massa si muove di moto rettilineo uniforme in direzione y lungo la retta x = ¼ L Dalla conservazione del momento della quantità di moto rispetto al centro di massa , proiettando lungo l’asse z orientato in direzione uscente dal foglio si ha: 2

2

3L v 3  1  mv0  (m L   3m L  ) f   f  0  5 rad / s 4 L 4  4  angolare finale del sistema intorno al centro di massa.

in senso antiorario, dove f

è la velocità

Esercizio 3. In una regione di spazio a forma di cilindro, indefinito, di raggio a è distribuita una carica con densità (r)=0(1+br). Ad una distanza r1 dall’asse del cilindro il campo elettrico vale E(r1) ed il potenziale elettrostatico vale V(r1). Calcolare: 1- il valore della costante 0 ; 2- il valore della costante b ; 3- il valore del campo sul bordo della regione cilindrica (r=a) ; 4il valore del potenziale sul bordo della regione cilindrica (r=a)

Utilizzare per i calcoli: a=20 cm, r1=5cm, E(r1)=120 V/m, V(r1)=10V

Dal teorema di Gauss:

E (r )2rl 

1

r

 0 0

 (r ' )2r ' ldr '

assunto nullo il potenziale sull’asse (r=0)

= -10 m-1 e

dalle due eq. Precedenti:

V(r = a) = V(r=a) = 8V

= 6.4 10-8C/m3 ; E(r = a) = -240 V/m

Esercizio n.4 In una striscia metallica infinitamente lunga e di larghezza h, costituita da un numero praticamente infinito di fili conduttori, ognuno dei quali può essere considerato di spessore infinitesimo, scorre una corrente i. In un punto, che giace sul piano della striscia ad una distanza y2>>h dalla striscia, il campo di induzione magnetica vale B2. Calcolare: 1- la corrente che scorre nella striscia ; 2- il campo di induzione magnetica B1 in un punto y1 che giace sul piano della striscia ad una distanza 3h dal bordo della striscia. Utilizzare per i calcoli numerici: h=10 cm, y2=10 m, B2=4T

Per y2>>h è come se si trattasse di un filo rettilineo indefinito. Pertanto:

Nel punto y1 avremo:

dove

=0.2 mT

i

di=(i/h)dy

=200 A

quindi integrando

II Appello

Fisica 1

Cognome Voto

Nome

22.02.2012 n. matricola

Esercizio n. 1. Una massa puntiforme m è collegata ad un filo inestensibile di lunghezza L = 1 m ancorato all’altra estremità nel punto O (vedi figura). Inizialmente la massa è mantenuta ferma con il filo posto in posizione orizzontale. Nel punto O’, posto a distanza d al di sotto del punto O, è presente un perno. Ad un certo istante la massa viene lasciata, e quando si trova in posizione verticale, il filo viene fermato nel punto O’ dal perno. Determinare la minima distanza d alla quale deve essere posto il perno affinché la massa m possa compiere un giro completo attorno al perno mantenendo il filo sempre in tensione.

L

O

m

d

O’

La condizione limite per poter effettuare il giro attorno al perno lungo la traiettoria circolare di raggio L – d si ottiene imponendo che la tensione del filo sia nulla nell’istante in cui la massa si trova sulla verticale sopra al perno: mv12  mg  0 (Ld ) 1 Dalla conservazione dell’energia si ha inoltre: mv12  mg L  2( L  d )  0  v12  2 g( 2d  L ) 2 3 da cui, sostituendo nella prima equazione si ottiene: d  L  60 cm 5

Esercizio n. 2 n moli di gas perfetto monoatomico eseguono un ciclo composto dalle tre seguenti trasformazioni: una espansione libera AB, una compressione adiabatica reversibile BC caratterizzata da un lavoro WBC ed infine una trasformazione isobara reversibile CA . Si calcolino la temperatura TC e la variazione di entropia dell’universo SU . Si effettuino i calcoli con n = 3, TA = 300 K ; pA = 2×105 Pa e WBC= - 3.7×104 J .

p

A

C

B V

Dalla conservazione della quantità di moto si ha:

  mv0  4mvCM

 1  vCM  v0  ( 0.5 m / s ) uˆ y 4

Il centro di massa si muove di moto rettilineo uniforme in direzione y lungo la retta x = ¼ L Dalla conservazione del momento della quantità di moto rispetto al centro di massa , proiettando lungo l’asse z orientato in direzione uscente dal foglio si ha: 2

2

3L v 3  1  mv0  (m L   3m L  ) f   f  0  5 rad / s 4 L 4  4  angolare finale del sistema intorno al centro di massa.

in senso antiorario, dove f

è la velocità

Fisica 2 (5 CFU) Cognome CCS

Appello A.A. 2010-2011 n. matricola

Nome Docente

22.02.2012

Esercizio 1. In una regione di spazio a forma di cilindro, indefinito, di raggio a è distribuita una carica con densità (r)=0(1+br). Ad una distanza r1 dall’asse del cilindro il campo elettrico vale E(r1) ed il potenziale elettrostatico vale V(r1). Calcolare: 1- il valore della costante 0 ; 2- il valore della costante b ; 3- il valore del campo sul bordo della regione cilindrica (r=a) ; 4il valore del potenziale sul bordo della regione cilindrica (r=a)

Utilizzare per i calcoli: a=20 cm, r1=5cm, E(r1)=120 V/m, V(r1)=10V

Dal teorema di Gauss:

E (r )2rl 

1

r

 0 0

 (r ' )2r ' ldr '

assunto nullo il potenziale sull’asse (r=0)

= -10 m-1 e

dalle due eq. Precedenti:

V(r = a) = V(r=a) = 8V

= 6.4 10-8C/m3 ; E(r = a) = -240 V/m

Esercizio n.2 In una striscia metallica infinitamente lunga e di larghezza h, costituita da un numero praticamente infinito di fili conduttori, ognuno dei quali può essere considerato di spessore infinitesimo, scorre una corrente i. In un punto, che giace sul piano della striscia ad una distanza y2>>h dalla striscia, il campo di induzione magnetica vale B2. Calcolare: 1- la corrente che scorre nella striscia ; 2- il campo di induzione magnetica B1 in un punto y1 che giace sul piano della striscia ad una distanza 3h dal bordo della striscia. Utilizzare per i calcoli numerici: h=10 cm, y2=10 m, B2=4T

Per y2>>h è come se si trattasse di un filo rettilineo indefinito. Pertanto:

Nel punto y1 avremo:

dove

=0.2 mT

i

di=(i/h)dy

=200 A

quindi integrando