Topologiczne i metodologiczne aspekty modeli kosmologii kwantowej

ROCZNIKI FILOZOFICZNE Tom LX, numer 4 – 2012

JACEK GOLBIAK MONIKA HERE’ *

TOPOLOGICZNE I METODOLOGICZNE ASPEKTY MODELI KOSMOLOGII KWANTOWEJ

I. WSTnP

W fizyce XX wieku dokonaCy siL dwie wielkie rewolucje naukowe: Ogólna Teoria WzglLdno[ci (OTW) i Mechanika Kwantowa. Predykcje obydwu teorii znalazCy potwierdzenia empiryczne. Rozwojowi tych teorii towarzyszyCo jednak wzajemne napiLcie, wynikajZce z istotnych ró_nic zarówno na poziomie jLzyka, formalizmu, jak i interpretacji. Mechanika Kwantowa opisuje procesy kwantowe w jLzyku sztywnej przestrzeni Hilberta, podczas gdy OTW sprowadza oddziaCywania grawitacyjne do Lorentzowskiej geometrii dynamicznej czasoprzestrzeni, formowanej przez procesy fizyczne. Fizyka bardzo wczesnych etapów ewolucji Wszech[wiata (epoka Plancka) wymaga poCZczenia Mechaniki Kwantowej i OTW w jednZ KwantowZ TeoriL Grawitacji. Brak takiej teorii unifikujZcej wynika nie tylko ze wzmiankowanej odmienno[ci teorii kwantów i grawitacji, ale ponadto z trudno[ci kosmologii standardowej. Kwantowe modele kosmologiczne sZ pierwszym przybli_eniem Kwantowej Teorii Grawitacji, która aktualnie nie jest znana1. TL czL[\ kosmologii, która zajmuje siL badaniem poczZtku Wszech[wiata jako procesu kwantowego, nazywa siL kosmogenezZ kwantowZ2. W literaturze przedmiotu wyeksponowana jest gCównie kosmogeneza autorstwa Hawkinga i Hartle’a, oparta na funkcji falowej Wszech[wiata i formalizmie Ks. dr JACEK GOLBIAK – Katedra Fizyki Teoretycznej na Wydziale Filozofii KUL; adres do korespondencji: Al. RacCawickie 14, 20-950 Lublin; e-mail: [email protected] Dr MONIKA HERE’ – Katedra Fizyki Teoretycznej na Wydziale Filozofii KUL; adres do korespondencji: Al. RacCawickie 14, 20-950 Lublin; e-mail: [email protected] 1 J. G o l b i a k, PoczZtek [wiata w kosmologii kwantowej, niepublikowana rozprawa doktorska, 2007. 2 E. H a r r i s o n, Cosmology – the science of the Universe, 2nd edition Cambridge 2000, s. 515.

102

JACEK GOLBIAK – MONIKA HERE’

caCkowania po trajektoriach3, oraz kosmogeneza Vilenkina, oparta na efekcie tunelowym4. DominowaCa kosmologia Hawkinga, m.in. dlatego, _e zostaCa dobrze spopularyzowana. W odró_nieniu od innych propozycji model Hawkinga i Hartle’a staC siL podstawZ tre[ci natury filozoficznej i [wiatopoglZdowej5. Hawking twierdzi, _e zbudowaC koncepcjL Wszech[wiata samowystarczalnego, w którym zostaC rozwiZzany problem warunków poczZtkowych i brzegowych, oraz _e w jego koncepcji kosmogenezy ma siL do czynienia z kosmogenezZ ex nihilo. Nasz artykuC przedstawia krytyczne uwagi pod adresem gCównych modeli kosmologii kwantowej, gCównie przez odwoCanie siL do pojL\ topologicznych. Najpierw zaprezentowana zostanie krytyka autorstwa G. McCabe’a, który odwoCuje siL do topologicznego pojLcia kobordyzmu6, a nastLpnie argumentacja McCabe’a zostanie uzupeCniona. PrezentacjL poglZdów McCabe’a i dalsze analizy poprzedzi wprowadzenie pewnego formalizmu – szeregu definicji, uwag, twierdzea i wniosków.

II. TOPOLOGICZNE POJnCIE KOBORDYZMU

Niech " bLdzie 3-wymiarowZ przestrzeniZ Riemanna z zadanym na niej polem tensorowym h. Na " zadano równie_ pola materialne #, które opisujZ materiL. Definicja 1 PrzestrzeniZ konfiguracyjnZ OTW nazywa siL zbiór wszystkich trójek $"i , hi ,#i % , które skCadajZ siL ze wszystkich "i, na których okre[lono metrykL hi oraz pole #i; gdzie „i” jest indeksem numerujZcym trójki.

Definicja 2 Propagatorem K & "i , hi ,#i ; " f , h f ,# f ' nazywa siL caCkL ) iA * K & "i , hi ,#i ; " f , h f ,# f ' + 0 exp , - d ( , .!/ ) iA * gdzie A jest dziaCaniem dla materii i grawitacji; exp , - jest czynnikiem wa.!/ 3

J. H a r t l e, S. H a w k i n g, Wave Function of the Universe, „Physical Review” 1983, D 28, s. 2960-2975. 4 A. V i l e n k i n, Quantum Creation of Universes, „Physical Review” 1984, D 30, s. 509-511. 5 S. H a w k i n g, A brief history of time, New York 1988. 6 G. M c C a b e, The structure and interpretation of cosmology, Part I, „Studies in History and Philosophy of Modern Physics” 35 (2004), s. 549-595; G. M c C a b e The structure and interpretation of cosmology, Part II, „Studies in History and Philosophy of Modern Physics” 36 (2005), s. 67-102.

TOPOLOGICZNE I METODOLOGICZNE ASPEKTY MODELI KOSMOLOGII KWANTOWEJ

103

_Zcym udziaC ró_nych trajektorii interpolujZcych pomiLdzy poczZtkowZ i koacowZ konfiguracjZ. Niech PL bLdzie zbiorem wszystkich 4-wymiarowych lorentzowskich czasoprzestrzeni (M) z metrykZ g, która zawL_ona do przestrzeni "i i "f wynosi odpowiednio hi i hf g " + hi ; g " + h f . ZakCada siL, _e para (M,g) jest rozmaito[ciZ i

f

z brzegiem. Niech brzeg rozmaito[ci (M, g) skCada siL z rozCZcznej sumy przestrzeni "i i "f. Wtedy pola fizyczne (tak jak metryka) sZ indukowane poprzez gCadkie pola zadane na (M, g): # " + #i oraz # " + # f i

f

Przestrzenie "i i "f bLdzie nazywa\ siL odpowiednio poczZtkowZ oraz finalnZ. O rozmaito[ci (M, g) bLdzie mówi\ siL, _e interpoluje pomiLdzy stanem poczZtkowym a finalnym7. Definicja 3 ParL ("1, "2) n-wymiarowej rozmaito[ci bLdzie nazywa\ siL kobordycznZ, je_eli przestrzenie "1 i "2 tworzZ rozCZczne skCadowe brzegu (n+1) – wymiarowej rozmaito[ci8. Mo_na udowodni\ twierdzenia: — ka_da para zwartych, 3-wymiarowych rozmaito[ci riemannowskich & "1 , h1 ' i & " 2 , h2 ' jest kobordyczna9, — ka_da para zwartych, riemannowskich 3-rozmaito[ci jest kobordyczna w sensie Lorentza10. Wniosek 1 Zawsze bLdzie istnie\ zwarta, 4-wymiarowa rozmaito[\ Lorentza (M, g) z brzegiem 1M , który jest rozCZcznZ sumZ "1 i "2, a metryka g indukuje odpowiednio metryki h1 i h2 na przestrzeniach "1 i "2.

7

Przestrzenie "i i "f nie muszZ by\ topologicznie równowa_ne (homeomorficzne). StZd po drodze od "i do "f mo_e nastZpi\ zmiana topologii ". 8 Terminu „kobordyzm” u_ywa siL w topologii w dwu znaczeniach: na oznaczenie samych rozmaito[ci opisanych w definicji oraz jako nazwy relacji. Szerzej na temat kobordyzmu zob. J.W. M i l n o r, Topologia z ró_niczkowego punktu widzenia, Warszawa: PWN 1969. 9 W.B.R. L i c k o r i s h, Homeomorphisms of non – orientable two – manifolds, „Proceedings of the Cambridge Philosophical Society” 59 (1963), s. 307-317. 10 B.L. R e i n h a r t, Cobordism and the Euler number, „Topology” 2 (1963), s. 173-177.

104

JACEK GOLBIAK – MONIKA HERE’

Wniosek 2 Nawet kiedy rozmaito[ci & "1 , h1 ' i & " 2 , h2 ' sZ zwartymi, 3-wymiarowymi rozmaito[ciami o ró_nych topologiach, bLdzie istnie\ interpolujZca je czasoprzestrzea. Ka_dej mo_liwej interpolujZcej czasoprzestrzeni, reprezentujZcej pewnZ historiL w jLzyku caCek po trajektoriach, przyporzZdkowuje siL liczbL zwanZ dziaCaniem. Jest to funkcjonaC okre[lony w zbiorze wszystkich 4-wymiarowych rozmaito[ci interpolujZcych pomiLdzy & "i , hi ,#i ' oraz & " f , h f ,# f ' . TL przestrzea bLdzie oznacza\ siL P & "i , hi ,#i ; " f , h f ,# f ' . Wniosek 3 OTW wymaga, aby & M , g ' 2 P speCniaCa Einsteinowskie równania pola. ZakCada siL, _e w kosmologii kwantowej rozmaito[\ & M , g ' nie musi speCnia\ równaa pola. Ka_da interpolujZca historia musi by\ rozmaito[ciZ z brzegiem, skCadajZcym siL z dwóch skCadowych "i i "f. Definicja 4 DziaCanie dla grawitacji i pól materialnych jest zbudowane z trzech czConów: 1 1 A + 3 G 0 R 4 gd 4 x 5 3 G 0 TrK hd 3 x 5 C 5 0 Lm 4 gd 4 x , 16 8 M M 1M gdzie R jest skalarem Ricciego, K jest krzywiznZ zewnLtrznZ, a Lm jest Lagran_janem dla materii, a dokCadnie gLsto[ciZ tego Lagran_janu, poniewa_ 4 gd 4 x jest elementem objLto[ci na & M , g ' . Wobec tego dziaCanie A jest odwzorowaniem zbioru czasoprzestrzeni lorentzowskich PL w zbiór liczb rzeczywistych: A : PL 6 R1 . Odwzorowanie S jest funkcjZ nieograniczonZ na przestrzeni mo_liwych historii PL. W tym celu wprowadza siL pewien czynnik wa_Zcy udziaC ró_nych historii. Definicja 5 WagZ nazywa siL odwzorowanie: ) iA * exp , - : PL 6 S 1 ! C 1 , .!/ które jest ju_ ograniczone. Wniosek 4

A A ) iA * exp , - + cos 5 i sin ! ! .!/

TOPOLOGICZNE I METODOLOGICZNE ASPEKTY MODELI KOSMOLOGII KWANTOWEJ

105

jest funkcjZ ograniczonZ. Waga jest liczbZ w ogólno[ci zespolonZ, przyporzZdkowanZ historii, która wyra_ona jest caCkZ funkcjonalnZ. Definicja 6 Propagatorem w kwantowej kosmologii nazywa siL caCkL po historiach PL od ) iA * stanu poczZtkowego do stanu finalnego, zwa_onych przez wagL exp , .!/

) iA * K & "i , hi ,#i ; " f , h f ,# f ' + 0 exp , - d ( , .!/ PL

gdzie d ( jest miarZ w PL. McCabe utrzymuje, _e Hawking, Hartle i Vilenkin, mówiZc o kreacji Wszech[wiata ex nihilo, majZ na my[li powstanie Wszech[wiata, dla którego rozmaito[\ poczZtkowa jest zbiorem pustym, czyli: & "i , hi ,#i ' + O7 Wówczas amplitudL prawdopodobieastwa przej[cia ze stanu ex nihilo do finalnego stanu brzegowego & " f , h f ,# f ' okre[la wyra_enie: ) iA * K & O7 ; " f , h f ,# f ' + 0 exp , - d ( . .!/ PL

Uwaga 1 Istnieje wiele technicznych problemów z definicjZ propagatora poprzez LorentzowskZ caCkL po historiach. Po pierwsze, gdy do PL wCZczy siL niezwarte czasoprzestrzenie, dziaCanie mo_e by\ rozbie_ne dla pewnych typów czasoprzestrzeni, ma to miejsce np. dla czasoprzestrzeni jednorodnych11. Niezwarte, jednorodne czasoprzestrzenie nie majZc dobrze zdefiniowanego dziaCania, nie mogZ zosta\ ) iA * zwa_one przez exp , - . .!/ Uwaga 2 W ogólno[ci PL nie jest skoaczenie wymiarowZ przestrzeniZ i nie istnieje zadawalajZca definicja miary na PL. W konsekwencji caCkowanie po d( nie jest ) iA * dobrze zdefiniowane. Trudno[\ ta jest bardzo powa_na. Chocia_ waga exp , .!/

11

Warto przy tym zauwa_y\, _e w przypadku czasoprzestrzeni asymptotycznie pCaskich i niezwartych dziaCanie jest skoaczone.

106

JACEK GOLBIAK – MONIKA HERE’

jest ograniczona, to ma ona charakter oscylacyjny. Nawet zatem gdy caCkuje siL po skoaczenie wymiarowym, zwartym podzbiorze PL, propagator mo_e by\ nieskoaczony. Jednym ze sposobów przezwyciL_enia trudno[ci z okre[leniem propagatora, jest Euklidesowe podej[cie do caCki po trajektoriach. W tym przypadku propagator mo_na zdefiniowa\ za pomocZ nastLpujZcego wyra_enia: ) 4A * K & "i , hi ,#i ; " f , h f ,# f ' + 0 exp , E - d ( . . ! / PR PorównujZc tL definicjL propagatora z definicjZ poprzedniZ, zauwa_ono dwie ró_nice. Po pierwsze, zbiór PL zostaC zastZpiony zbiorem PR & "i , hi ,#i ; " f , h f ,# f ' . Jest to zbiór wszystkich zwartych riemannowskich 4-rozmaito[ci i historii pól materialnych, które interpolujZ odpowiednie stany. Po drugie, zmianie ulega znak ) 4A * w eksponencie definiujZcej wagL. Otrzymano zatem exp , E - . . ! / UwzglLdniajZc powy_sze ustalenia, Mc Cabe analizuje nastLpujZcy propagator: ) 4A * K & O7 ; " f , h f ,# f ' + 0 exp , E - d ( . . ! / PR Nale_y jeszcze doprecyzowa\ kontur caCkowania. AmplitudL K & O7 ; ", h,# ' powinno siL liczy\ sumujZc po zwartych 4–geometriach (a wiLc nie wszystkich), które sZ punktami siodCowymi dziaCania. Taka precyzacja konturu caCkowania jest jednak arbitralnym wyborem podyktowanym kCopotami rachunkowymi. ZawL_a klasL badanych modeli do najprostszych przypadków, zmniejszajZc tym samym stopiea ogólno[ci teorii, a tym samym generyczno[\ rozwiZzaa. Czy amplituda przej[cia K & O7 ; ", h,# ' wyliczona przez powy_szy propagator mo_e by\ interpretowana jako amplituda kreacji Wszech[wiata ex nihilo? McCabe twierdzi, _e jest to nieuprawnione. PodstawZ strategii argumentacyjnej jest poglZd McCabe’a, zgodnie z którym stan poczZtkowy Wszech[wiata jest reprezentowany przez zbiór pusty12. GCównZ tezL McCabe’a mo_na sformuCowa\ 12

J. `yciaski wcze[niej zwróciC uwagL na to, _e wielu autorów interpretuje fizycznZ nothing na sposób teoriomnogo[ciowy jako zbiór pusty. Zob. J. ` y c i a s k i, Methaphysics and Epistemology in Stephen Hawking’s Theory of the Creation of the Universe, „Zygon” 31 (1996), nr 2, s. 269-284. Ta interpretacja odnoszona jest gCównie do pojLcia „nico[ci” w modelu Hawkinga-Hartle’a. Ponadto J. `yciaski zwróciC w swoim artykule uwagL na to, _e nico[\ fizyczna jest te_ interpretowana jako metafizyczna nico[\. WskazaC na mo_liwo[\ teistycznej interpretacji modelu Hawkinga-Hartle’a. Przy pewnych zaCo_eniach „nico[\” posiada te same wCasno[ci co filozoficznie pojLty Logos w tradycji neoplatoaskiej czy hellenistycznej.

TOPOLOGICZNE I METODOLOGICZNE ASPEKTY MODELI KOSMOLOGII KWANTOWEJ

107

w nastLpujZcy sposób: je[li stan, z którego powstaje Wszech[wiat, zinterpretowa\ jako zbiór pusty Ø, to nie da siL zrealizowa\ indywidualnego stanu & " f , h f ,# f ' zarówno w przypadku czasoprzestrzeni lorentzowskiej, jak i riemannowskiej. Rozmaito[ci – pierwotna i finalna – muszZ by\ kobordyczne ze sobZ. Kobordyzm jest relacjZ równowa_no[ci pomiLdzy rozmaito[ciami i stZd jest czym[ niemo_liwym, by dowolna rozmaito[\ byCa kobordyczna ze zbiorem pustym. Propagator K & O7 ; ", h,# ' nie mo_e zatem by\ interpretowany jako amplituda kreacji konfiguracji & ", h,# ' ex nihilo (albo ze zbioru pustego). Z tego powodu stwierdzenie Hawkinga, _e jego model przedstawia „Wszech[wiat bez brzegu”, który wyCania siL z nico[ci, jest niepoprawne. Jak pokazuje McCabe, caCkowanie po czasoprzestrzennych konfiguracjach bez brzegu w przeszCo[ci mo_na by tylko interpretowa\ jako prawdopodobieastwo emergencji konfiguracji & " f , h f ,# f ' z czegokolwiek, a nie jako prawdopodobieastwo konfiguracji & " f , h f ,# f ' powstaCej z nico[ci. Brak brzegów w przeszCo[ci jest informacjZ, _e nie istniejZ _adne restrykcje, z których finalna konfiguracja powstaje. Ka_da konfiguracja & "i , hi ,#i ' , bLdZca elementem zbioru PL & "i , hi ,#i ; " f , h f ,# f ' , jest podzbiorem co najmniej jednej czasoprzestrzeni ze zbioru PL & O7 ; " f , h f ,# f ' . Ka_da czasoprzestrzea nale_Zca do PL & "i , hi ,#i ; " f , h f ,# f ' , jest czL[ciZ co najmniej jednej czasoprzestrzeni, którZ przedCu_ono w przeszCo[\ poza konfiguracjL & "i , hi ,#i ' 2 PL & O7 , " f , h f ,# f ' . Innymi sCowy, brak brzegu w przeszCo[ci jest po prostu sygnaCem absencji restrykcji na konfiguracjL poczZtkowZ & "i , hi ,#i ' . Jest tak dlatego, _e zbiór lorentzowskich czasoprzestrzennych elementów PL & O7 ; " f , h f ,# f ' zawiera wszystkie mo_liwe przeszCe historie, które bLdZ prowadziCy do stanu finalnego & " f , h f ,# f ' , natomiast PL & "i , hi ,#i ; " f , h f ,# f ' zawiera wszystkie przeszCe historie, które zostaCy obciLte na poczZtkowej konfiguracji & "i , hi ,#i ' . KonkludujZc, caCkowanie po czasoprzestrzeni bez brzegu w przeszCo[ci nie mo_e by\, zdaniem McCabe’a, interpretowane jako prawdopodobieastwo przej[cia ze zbioru pustego do & " f , h f ,# f ' . AnalogicznZ sytuacja jest w przypadku Euklidesowym. McCabe w krytyczny sposób odnosi siL równie_ do modelu Vilenkina, w którym mechanizmem odpowiedzialnym za kreacjL Wszech[wiata jest efekt tunelowy. Zgodnie z teoriZ prawdopodobieastwo przej[cia miLdzy dwoma konfiguracjami jest caCkowicie wyznaczone przez wszystkie dopuszczalne trajektorie (historie), które interpolujZ pomiLdzy tymi stanami. Kwantowe tunelowanie wystLpuje w nierelatywistycznej teorii kwantowej, gdy dwie przykCadowe konfiguracje q1 i q2 mogZ by\ interpolowane poprzez klasycznZ historiL. Je[li nie istnieje taka, kinematycznie mo_liwa, historia, wówczas nawet w teorii kwantowej przej[cie miLdzy dwoma konfiguracjami nie jest mo_liwe, poniewa_

108

JACEK GOLBIAK – MONIKA HERE’

Wszech[wiat tuneluje do obszaru klasycznego. Na przykCad, je[li q1 i q2 sZ punktami nale_Zcymi do rozCZcznych (wielospójnych) regionów przestrzeni, wówczas przej[cie miLdzy q1 i q2 staje siL niemo_liwe. McCabe konkluduje, _e poniewa_ nie istnieje ", która byCaby kobordyczna ze zbiorem pustym, nie istniejZ kinematycznie dopuszczalne klasyczne ewolucje, które inetrpolujZ pomiLdzy Ø i & ", h,# ' . Wobec tego nie jest mo_liwe kwantowe przej[cie miLdzy Ø i & ", h,# ' , a stZd tunelowanie miLdzy zbiorem pustym Ø i & ", h,# ' . Argumenty McCabe’a wydajZ siL pora_ajZce zarówno dla programu HawkingaHartle’a jak programu Vilenkina. Argumenty te opierajZ siL w zasadzie, po pierwsze, na obserwacji, _e nie istnieje rozmaito[\ 3-wymiarowa kobordyczna ze zbiorem pustym, a po drugie – na stwierdzeniu, _e przej[cie miLdzy stanami jest niemo_liwe, gdy stany te (konfiguracje) bLdZ nale_e\ do rozCZcznych zbiorów. Wtedy, nawet w przypadku kwantowym, jest niemo_liwe tunelowanie ze zbioru pustego. Jedna z mo_liwo[ci odrzucenia argumentacji McCabe’a opiera siL na odmiennej interpretacji poczZtkowej konfiguracji. Niech konfiguracja zbudowana ze zbioru ", zadanej na niej metryki h i pól #, bLdzie trójkZ uporzZdkowanZ. Z teorii mnogo[ci wiadomo, _e pojLcie pary uporzZdkowanej mo_na zdefiniowa\ na gruncie pojLcia zbioru; przykCadowo a, b + $$a% ,$a, b%% . Mo_na to uczyni\ analogicznie dla trójki: ", h,# + $$"% ,$", h% ,$", h,#%% . Przyrównanie prawej stronL zbioru ostatniego wyra_enia do zbioru pustego Ø oznacza, _e " jest zbiorem pustym, ale tak_e metryka h i pole # sZ nieokre[lone na ". Je[li rozwa_y siL maCy obszar ", na którym zadany jest tensor metryczny i pole #, wtedy wielko[\ d" bLdzie zmierza\ do zera tak, _e punkt P2d" bLdzie nale_aC ciZgle do tego obszaru. Wówczas zamiast zbioru pustego otrzymuje siL analog pojLcia punktu materialnego. Jakkolwiek punkt P nie posiada _adnej struktury geometrycznej i w tym jest podobny do zbioru pustego Ø, to w tym punkcie jest dobrze okre[lone pole #, co odró_nia go od zbioru pustego. Wydaje siL, _e u_ywane pojLcie ex nihilo w obu projektach badawczych lepiej oddaje trójka P, h,# , gdzie P oznacza co[, co jest nazywane zero-point geometry, tzn. punkt geometryczny, który przynale_y do brzegu (0-wymiarowa podrozmaito[\). Wydaje siL, _e pojLcie punktu obdarzonego polem lepiej oddaje syntaktycznie u_ywane ex nihilo. Co wiLcej, unika siL trudno[ci wynikajZcej z faktu, _e _adna rozmaito[\ nie jest kobordyczna ze zbiorem pustym. Mo_na wyobrazi\ sobie sto_ek, którego ostrze jest zlokalizowane w poczZtku R3 o równaniu 0 8 z 8 1 , x 2 5 y 2 4 z 2 + 0. Dla tego sto_ka x + y + z + 0 oraz okrZg x 2 5 y 2 + 1 stanowiZ rozCZczne skCadowe jego brzegu. StZd punkt i okrZg sZ kobordyczne, poniewa_ tworzZ rozCZczny brzeg rozmaito[ci 3-wymiarowej.

TOPOLOGICZNE I METODOLOGICZNE ASPEKTY MODELI KOSMOLOGII KWANTOWEJ

109

McCabe jakby dostrzegaC tL mo_liwo[\, którZ komentuje jako mythical “zero three geometry”. PojLcie punktu materialnego jest fizycznZ abstrakcjZ pojLcia ciaCa o zaniedbywalnych rozmiarach. W przypadku kosmologii kwantowej K & 0, ", h,# ' okre[la amplitudL prawdopodobieastwa przej[cia ukCadu od stanu poczZtkowego, reprezentujZcego obszar o punktowych rozmiarach, do finalnej konfiguracji & ", h,# ' . Trudno dopatrzy\ siL w tej koncepcji mythical geometry. McCabe sCusznie zauwa_a, _e jakkolwiek Hawking i Hartle ograniczajZ siL do zwartych, 3-wymiarowych rozmaito[ci brzegowych, mo_na rozwa_a\ przestrzenie o ró_nych topologiach, majZc przy tym [wiadomo[\, _e peCna klasa wariantów topologicznych jeszcze nie jest zagadnieniem rozwiZzanym. Drugim powa_nym bCLdem argumentacji McCabe’a jest stwierdzenie, _e zbiór pusty nie jest przestrzeniZ topologicznZ, co oczywi[cie nie jest prawdZ13. W konsekwencji bCLdna jest równie_ teza, _e _adna przestrzea konfiguracyjna nie mo_e by\ kobordyczna ze zbiorem pustym. Je_eli zatem przyjZ\, _e zbiór pusty jest matematycznZ reprezentacjZ nico[ci, to nale_y zakwestionowa\ strategiL argumentacyjnZ McCabe’a, poniewa_ da siL ustali\ relacjL równowa_no[ci miLdzy zbiorem pustym a pewnZ przestrzeniZ konfiguracyjnZ, reprezentujZcZ czasoprzestrzea z zadanym polem materii i metrykZ. Ponadto na gruncie topologii mówi siL o wielu typach kobordyzmów, których omawianie wykracza jednak poza ramy tej pracy14. Krytyka dotyczZca gCównych programów kosmologii kwantowej przedstawiona przez McCabe’a jest w niektórych punktach sCuszna. Zostanie ona uzupeCniona innymi uwagami krytycznymi. Wiele z tych uwag zostaCo ju_ sformuCowanych przy okazji omawiania poglZdów McCabe’a. Teraz zostanZ one podsumowane.

13

Niech dany bLdzie niepusty zbiór X. RodzinL zbiorów 9 zawartZ w zbiorze potLgowym zbioru X nazywa siL topologiZ na tym zbiorze, je[li speCnia ona nastLpujZce aksjomaty: – X 29 , : 29 – je[li U,V 29 to U ; V 29 – je[li A < 9 to " A 29 ParL ( X ,9 ) nazywa siL przestrzeniZ topologicznZ. Z definicji zatem wida\, _e zbiór pusty nale_y do topologii. 14 J. W C o d a r c z y k, Birational cobordisms and factorization of birational maps, „Journal of Algebraic Geometry” 9 (2000), s. 425 – 449.

110

JACEK GOLBIAK – MONIKA HERE’

III. UWAGI KRYTYCZNE WOBEC MODELU HAWKINGA-HARTLE’A ORAZ MODELU VILENKINA

1. Wszystkie projekty kosmologii kwantowej ekstrapolujZ prawa mechaniki klasycznej z naszego otoczenia na caCy Wszech[wiat – najwiLkszy mo_liwy zbiór zdarzea do najbardziej odlegCej przeszCo[ci. Prawa fizyki, w tym mechaniki kwantowej, nie zale_Z od miejsca i czasu (w tym równie_ czasu Plancka). To zaCo_enie umo_liwia zbudowanie kosmologii kwantowej na wzór klasycznej mechaniki kwantowej. Trzeba mie\ jednak [wiadomo[\, _e tak dokonana ekstrapolacja nie musi by\ sCuszna, chocia_ jest skuteczna w tym sensie, _e prowadzi do konkluzywnych wyników. Tak zbudowanZ kosmologiL mo_na by nazwa\ przez analogiL semiklasycznZ kosmologiZ kwantowZ i traktowa\ jZ jako pierwszZ aproksymacjL kosmologii opartej na kwantowej teorii grawitacji. Jest to jednak jedynie nasz „akt wiary”. Wszystkie te projekty nie dotykajZ tego, na co wskazywaCaby logika ewolucji pojLcia czasoprzestrzeni i zamiast pojLcie to wzbogaca\, de facto unicestwiajZ – uto_samiajZc takZ destrukcjL z ex nihilo. Ex nihilo jest w gruncie rzeczy nazwZ czego[, co jest nieznane – jest nazwZ koncepcji czasoprzestrzeni w epoce Plancka. Teoria grawitacji rozwijana przez Ashtekara, Bojowalda i Lewandowskiego15, zwana pLtlowZ teoriZ grawitacji, poddaje rewizji koncepcjL czasoprzestrzeni jako gCadkiej rozmaito[ci, co sytuuje jZ w ciZgu dotychczasowej ewolucji pojLcia czasoprzestrzeni. Projekty Hawkinga-Hartle’a i Vilenkina, zamiast i[\ gCLbiej w poszukiwaniu zwiZzków miLdzy grawitacjZ i teoriZ kwantowZ, zadawalajZ siL powierzchownZ analogiZ miLdzy ukCadami semiklasycznymi a fikcyjnZ czZstkZ Wszech[wiata, speCniajZcZ analogiczne równania. Równanie Wheelera-DeWitta jest de facto równaniem Schrödingera dla przestrzeni konfiguracyjnej, bLdZcej superprzestrzeniZ. Wzór na amplitudL tunelowania jest analogiczny do klasycznego wzoru Gamowa, uzyskanego w zupeCnie innym kontek[cie. Wszech[wiat nie jest czZstkZ, która ulega rozpraszaniu na szczelinach, i trudno sobie wyobrazi\, w jaki sposób Wszech[wiat tunelowaC poza czasoprzestrzeniZ, która utraciCa swój klasyczny sens. Vilenkin nie podaje _adnej alternatywy, zadowalajZc siL stwierdzeniem, _e taki efekt jest niesprzeczny z prawami fizyki. My[lZc o prawach fizyki my[li siL gCównie o zasadzie zachowania energii, chocia_ pojLcie energii nie zostaCo zdefiniowane w OTW. 2. Oba projekty wykorzystujZ analogiL z klasycznymi ukCadami kwantowymi. W teorii Vilenkina jest to proces kreacji pary elektron–pozyton w obecno[ci staCego pola elektrostatycznego. Zamiast pola elektrostatycznego wystLpuje 15

A. A s h t e k a r, M. B o j o w a l d, J. L e w a n d o w s k i, Mathematical structure of loop quantum cosmology, arxiv: gr-qc/0304074.

TOPOLOGICZNE I METODOLOGICZNE ASPEKTY MODELI KOSMOLOGII KWANTOWEJ

111

energia pró_ni. W projekcie Hawkinga-Hartle’a bazuje siL na koncepcji kwantowania kanonicznego, po wcze[niejszym zdefiniowaniu przestrzeni stanów ukCadu (superprzestrzeni), oraz na reguCach Diraca kwantowania ukCadów z wiLzami. W koncepcji Hawkinga-Hartle’a od samego poczZtku zakCada siL rozkCad na czas i przestrzea w OTW, której istotZ jest [cisCy zwiZzek tych wielko[ci. Czyni siL tak, aby uzyska\ klasyczny hamiltonian, z którym dalej wiadomo jak postLpowa\, aby go skwantowa\ wedCug reguC kwantowania semiklasycznego. Oba programy CZczy jedna wspólna cecha, polegajZca na tym, _e u_ywajZc w miarL najprostszych [rodków, zmierza siL po „najkrótszej drodze” i w „najkrótszym czasie” do wyliczenia pewnych wielko[ci i uzyskania wyniku publikowanego w czasopi[mie naukowym. Wydaje siL, _e fundamentalna natura Wszech[wiata jest kwantowa i klasyczny hamiltonian winien by\ odzyskany z tej teorii, a nie odwrotnie – wci[niLty do teorii kwantowej z rozwa_aa klasycznych. Jest du_Z naiwno[ciZ sZdzi\, _e pojLcie klasycznej czasoprzestrzeni prze_yje w epoce Plancka, ale miLdzy jej unicestwieniem a klasycznym rozumieniem istnieje caCe spektrum mo_liwo[ci, które byCyby do wykorzystania. W tym nurcie lokuje siL pLtlowa kwantowa teoria grawitacji i oparta na niej pLtlowa kosmologia. W jednej ze swych monografii Heller poddaje analizie logikL ewolucji pojLcia czasoprzestrzeni, w którZ wpisuje siL nawet koncepcja czasoprzestrzeni Arystotelesa (oczywi[cie po pewnej stylizacji)16. Du_e zasCugi w znalezieniu zunifikowanego jLzyka opisu tej ewolucji (teoria wiZzek wCóknistych) poCo_yC Andrzej Trautman17. Wydaje siL, _e kwantowa teoria grawitacji powinna siL wpisywa\ w ten schemat, ale nale_y znalel\ pewien uniwersalny jLzyk podobny do teorii wiZzek, który uporzZdkuje teorie. W stosunku do teorii Ashtekara, Bojowalda, Lewandowskiego (ABL) formuCowane byCy w [rodowisku fizycznym pewne zarzuty braku konkretnych wyników. Sama próba zrozumienia natury problemów kwantowej grawitacji nie byCa dostatecznym argumentem, [wiadczZcym na korzy[\ tych teorii. SpoCeczno[\ domagaCa siL wyników na miarL klasycznych programów Hawkinga-Hartle’a i Vilenkina. Wówczas Bojowald opublikowaC seriL trzech kolejnych prac18, w których wykazywaC, _e moc wyja[niajZca teorii jest co najmniej równa mocy wyja[niajZcej klasycznych programów badawczych kosmologii kwantowej. Efek16

M. H e l l e r, Filozofia przyrody. Zarys historyczny, Kraków: Znak 2004. A. T r a u t m a n, Differential Geometry for Physicists, Neapol: Bibliopolis 1984. 18 M. B o j o w a l d, Absence of a Singularity in Loop Quantum Cosmology, „Physical Review Letters” 86 (2001), s. 5227-5230; t e n _ e, Dynamical Initial Conditions in Quantum Cosmology, „Physical Review Letters” 87 (2001), (121301); t e n _ e, Inflation from Quantum Geometry, „Physical Review Letters” 89 (2002), (261301). 17

112

JACEK GOLBIAK – MONIKA HERE’

tywno[\ pLtlowej kwantowej teorii grawitacji zostaCa pokazana na przykCadzie zastosowaa kosmologicznych. Bojowald dowiódC, _e w jej ramach rozwiZzany jest problem warunków poczZtkowych i problem osobliwo[ci, a model posiada wyj[cie na epokL inflacyjnZ. W spoCeczno[ci naukowej powoli ksztaCtowane jest przekonanie o przewadze kwantowej pLtlowej teorii grawitacji nad klasycznymi programami. JLzyki klasycznych programów oraz pLtlowej kwantowej teorii grawitacji (teorie wLzCów) sZ niekompatybilne, poniewa_ jakby atakowaCy problem z dwóch opozycyjnych stron. Pierwsza – zachowujZc pojLcia klasyczne, takie jak hamiltonian, ale redukujZc pojLcie czasoprzestrzeni, druga – uogólniajZc pojLcie czasoprzestrzeni i wyprowadzajZc z niej klasycznZ ewolucjL. 3. W budowie STW i OTW charakterystyczne byCo nadawanie wielko[ciom fizycznym sensu operacyjnego. Staranna analiza pomiaru tych wielko[ci, przeprowadzona przez Einsteina, poprzedzaCa formalizm matematyczny. ByCo to byCo charakterystyczne dla my[lenia Einsteina, by dostrzega\ fizycznZ naturL problemu, zanim zostanie nadany mu sens matematyczny. Wszystkie bez wyjZtku programy badawcze (wCZczajZc kosmologiL pLtlowZ) nie zawierajZ podobnych analiz, co jest niepokojZce, poniewa_ grozi dowolno[ciZ posCugiwania siL pojLciami, nieposiadajZcymi precyzyjnie okre[lonego sensu operacyjnego. RekompensatZ za absencjL wspomnianej procedury badawczej miaCby by\ wzrost stopnia skomplikowania aparatu matematycznego oraz akcentowanie walorów estetycznych teorii. Teorie, im bardziej stajZ siL wyrafinowane matematycznie, tym trudniej przez to dostrzec interesujZce fizycznie wyniki. Coraz wy_sze standardy estetyczne speCniane przez teorie nie rozstrzygajZ kwestii ich warto[ci poznawczych. Kolb twierdzi, _e dla ka_dego problemu mo_na znalel\ wysoce estetycznZ teoriL, ale po prostu nieprawdziwZ19. Dopóki eksperyment jest naczelnZ instancjZ rozstrzygajZcZ istnienie efektów fizycznych, powinni[my zmierza\ do zwiZzania teorii z obserwacjZ. Vilenkin uwa_a, _e zaletZ jego modelu jest estetyczny charakter. Jego program daje model bez osobliwo[ci typu Wielkiego Wybuchu i nie wymaga warunków poczZtkowych czy brzegowych, a struktura i ewolucja Wszech[wiata jest zdeterminowana przez prawa fizyki. W podej[ciu tym odnajduje siL wiele niejasno[ci powodowanych przez brak odniesienia do empirii. Na przykCad, czas tunelowania powinien by\ znaczZcZ czL[ciZ czasu hubblowskiego. KCóci siL to z my[leniem o zjawisku tunelowania Wszech[wiata poza czasem. Trudno sobie równie_ wyobrazi\, gdzie zlokalizowana jest bariera potencjalna. Fakt, _e pewne parametry dopuszczajZ jej istnienie, podczas gdy inne wykluczajZ, u[wiadamia nam, _e efekt 19

E. K o l b, M. T u r n e r, The early Universe, Redwood City 1990.

TOPOLOGICZNE I METODOLOGICZNE ASPEKTY MODELI KOSMOLOGII KWANTOWEJ

113

tunelowania nie jest konieczny. Gdy natomiast parametry modelu sZ takie, _e bariera ma miejsce, rodzi siL pytanie: dlaczego parametry kosmologiczne sZ takie, a nie inne od samego poczZtku? To nic innego jak pewne warunki wystZpienia bariery, które sZ warunkami poczZtkowymi (prawami fizyki dla ewoluujZcego Wszech[wiata), chocia_ nie ma siL tu do czynienia z równaniem ró_niczkowym. Wczesne próby opisu kosmogenezy w jLzyku fluktuacji pró_ni (np. Tryon20) ujawniajZ braki operacyjnego sensu pojLcia pró_ni. Operacyjny sens pró_ni wymaga istnienia czZstek, co oznacza istnienie pró_ni w jakim[ zewnLtrznym [wiecie czZstek posiadajZcych pewne struktury przestrzenne. Gdyby od poczZtku modele kosmogenezy oparte na koncepcji fluktuacji pró_ni byCy poprzedzone starannZ analizZ ich sensu operacyjnego, to zauwa_ono by nadu_ycia w formuCowaniu tej koncepcji, jako koncepcji kosmogenezy ex nihilo poza czasem i przestrzeniZ. 4. BazZ podej[cia Hawkinga-Hartle’a jest równanie Wheelera-DeWitta, które jest równaniem ró_niczkowym drugiego rzLdu o pochodnych czZstkowych, stZd dla wyspecyfikowania rozwiZzania spo[ród klasy dopuszczalnych rozwiZzaa trzeba zada\ warunki poczZtkowe na funkcjL falowZ i jej pierwsze pochodne oraz warunki brzegowe. Gdy np. rozwiZzuje siL zagadnienie drgajZcej jednowymiarowej struny, przykCadowo ze zwiZzanymi koacami, zadaje siL warunki brzegowe na odchylenie od linii prostej CZczZcej dwa punkty umocowania struny oraz warunki poczZtkowe na wielko[\ poczZtkowego odchylenia. Dopiero po zadaniu tych warunków mo_na wyspecyfikowa\ konkretne rozwiZzania. W przypadku równania Wheelera-DeWitta niewiadomZ funkcjZ jest funkcja falowa dla Wszech[wiata, która powinna zawiera\ peCnZ informacjL o Wszech[wiecie. Warunki brzegowe sZ konieczne do wyspecyfikowania rozwiZzaa, stZd stwierdzenie czLsto powtarzane przez Hawkinga: „no-boundary boundary condition” (istnienie brzegowego warunku „braku brzegu”) na okre[lenie zadawanych arbitralnie warunków brzegowych jest niepoprawne. Dodatkowo nale_y odró_ni\ warunki brzegowe dla funkcji falowej od warunków brzegowych decydujZcych o tym, po jakich 4-geometriach nale_y sumowa\ (wybór konturu caCkowania). Hawking ma na my[li warunki brzegowe naCo_one na 4-geometrie w odpowiedniej sumie, a nie warunki brzegowe dla funkcji falowej. Mo_na doda\, _e w kontek[cie tego, i_ zwarte rozmaito[ci mogZ posiada\ brzeg, a niezwarte rozmaito[ci nie muszZ posiada\ brzegu, stwierdzenie: „warunki brzegowe bez brzegu” posiada raczej propagandowe znaczenie, nieprzekazujZce _adnej istotnej informacji. Oczywi[cie jest to bCLdne stwierdzenie. Dopóki równanie Wheelera-DeWitta traktuje siL jako 20

E.P. T r y o n, Is the Universe vacuum fluctuation?, „Nature” 246 (1973), (5433), s. 396-397.

114

JACEK GOLBIAK – MONIKA HERE’

prawo kosmologii kwantowej, trzeba mie\ na uwadze, _e nie sposób wyspecyfikowa\ rozwiZzania bez postulatu warunków brzegowych. WziLcie tych warunków brzegowych z zewnZtrz kCóci siL z koncepcjZ funkcji falowej dla Wszech[wiata. 5. Obydwa programy badawcze charakteryzujZ siL odwoCaniem do niejasnego i nieposiadajZcego sensu operacyjnego pojLcia „nico[\”. Wydaje siL czasami, _e stosowanie tego pojLcia jest sugestywnym, celowym odwoCaniem do nico[ci filozoficznej. Mo_na by to uzna\ za swego rodzaju prowokacjL, która mo_e by\ skuteczna w ró_nych obszarach sztuki dla wywoCania pewnych efektów u odbiorcy, natomiast jest zjawiskiem rzadko stosowanym i maCo skutecznym w nauce21. Jest pewne, _e twórcy programów majZ peCnZ [wiadomo[\, czym sZ warunki poczZtkowe i warunki brzegowe dla modelowania praw naukowych opisywanych przez równania ró_niczkowe. MajZ równie_ [wiadomo[\, _e je[li te prawa majZ dotyczy\ Wszech[wiata, warunki poczZtkowe i brzegowe nie mogZ by\ zewnLtrzne wobec teorii. Je[li uzna siL z kolei kosmologiL kwantowZ za teoriL ostatecznZ, to nie jest mo_liwe ich wyprowadzenie z bardziej fundamentalnej teorii. Autorzy projektu przyjLli na samym poczZtku pewne zaCo_enia, _e funkcja falowa dla Wszech[wiata zawiera peCnZ informacjL o jego stanie, a wiLc i o warunkach brzegowych i próbujZ zbudowa\ teoriL Wszech[wiata, w którym usuniLty zostaC konwencjonalny dualizm miLdzy prawami fizyki a warunkami poczZtkowymi22. Ta próba okazaCa siL chybiona. Pytanie, jak rozwiZza\ dualizm praw fizyki i warunków poczZtkowych, pozostaje bez odpowiedzi, podobnie jak wiele innych pytaa, na które odpowie dopiero kosmologia kwantowa oparta na kwantowej teorii grawitacji. 6. InteresujZca uwaga odno[nie do interpretacji Hawkinga-Hartle’a funkcji falowej dla Wszech[wiata zostaCa poczyniona przez W. Dreesa23. Autor zauwa_a, 21

Sal Restivo, badajZc problematykL relacji nauka–wiara, a w szczególno[ci prawomocno[\ porównywania wyników osiZgniLtych na drodze badania naukowego i poznania religijnego, wskazuje na kilka przyczyn bCLdów i nieporozumiea zwiZzanych z tZ materiZ. W[ród nich mo_na wskaza\ na przyczynL, którZ autor nazywa tzw. zwodniczZ transpozycjZ terminów (misleading transpositions of terms). SCowa w zale_no[ci od u_ywanych kontekstów zmieniajZ swoje znaczenia (corruption of languages). Podobieastwo miLdzy pewnymi rzeczami mo_e wiLc by\ sztucznie wywoCane na skutek dowolnego manipulowania znaczeniami. Jest grupa pojL\ fizycznych, których stosowanie notorycznie grozi pomyCkami: energia, porzZdek, nico[\, kreacja. SCowo „nico[\” ma wiele znaczea, co czyni je szczególnie podatnym na manipulacje w celu osiZgania doralnych wyników. Zob. S. R e s t i v o, The Social Relations of Physics, Mysticism and Mathematics, Dordrecht 1984. 22 J. B a r r o w, PoczZtek Wszech[wiata, Warszawa: CIS 1995. 23 W.B. D r e e s, Interpreting of the Wave function of the Universe, „International Journal of Theoretical Physics” 26 (1987), No 10, s. 939-942.

TOPOLOGICZNE I METODOLOGICZNE ASPEKTY MODELI KOSMOLOGII KWANTOWEJ

115

_e zanim funkcjL falowZ zinterpretuje siL jako amplitudL prawdopodobieastwa, musi przeprowadzi\ siL jej normalizacjL. PrzykCadowo, majZc do czynienia z pojedynczZ czZstkZ, funkcja falowa jest normalizowana przez _Zdanie, by caCka z prawdopodobieastwa po caCej przestrzeni byCa znormalizowana do jedynki (w dowolnej chwili czasu), poniewa_ czZstka musi siL gdzie[ znajdowa\. W kwantowej teorii pola funkcja falowa pozwala wyznaczy\ amplitudL prawdopodobieastwa ró_nych konfiguracji pól w pewnej chwili czasu. W przypadku funkcji falowej dla Wszech[wiata nie istniejZ pola, a normalizacja polega na caCkowaniu po mo_liwych 3-geometriach. Chocia_ warunki normalizacji funkcji falowej sZ zapewnione, to funkcja falowa nie okre[la amplitudy prawdopodobieastwa powstania [wiata z niczego, lecz amplitudL prawdopodobieastwa otrzymania pewnej metryki Wszech[wiata zadanej na pewnej 3-geometrii. Drees podkre[la, z czym trudno siL nie zgodzi\, _e matematyczne prawdopodobieastwo jest zawsze definiowane w relacji do zbioru mo_liwych realizacji. Na przykCad prawdopodobieastwo wyrzucenia orCa czy reszki w rzucie monetZ jest 1/2 tylko wtedy, gdy jedna z mo_liwo[ci jest realizowana. Normalizacja jest zawsze przeprowadzona po zbiorze mo_liwych realizacji. Matematyczne prawdopodobieastwo otrzymania Wszech[wiata z niczego nie daje nam prawdopodobieastwa realizacji realnego Wszech[wiata, lecz tylko modelu fizycznego Wszech[wiata24. Drees zauwa_a, _e wszystkie inne koncepcje, reklamujZce siL jako modele kreacji Wszech[wiata, startujZ z pewnej przestrzeni Minkowskiego albo de Sittera czy te_ z kwantowej fluktuacji pól fizycznych, wCZczajZc pole grawitacyjne. Je[li rozpatrujZ przej[cie z takiego Wszech[wiata do naszego, pojawi siL przy tym problem, w jaki sposób powstaC wyj[ciowy Wszech[wiat. Drees uwa_a, _e program Hawkinga-Hartle’a zmierza do wyja[nienia struktury Wszech[wiata bez zakCadania warunków poczZtkowych i bez zaCamania praw fizyki w osobliwo[ci. Tym niemniej nie jest to odpowiedl na pytanie, jak prawdopodobne jest jego powstanie z niczego? Pytanie pozostaje dalej pytaniem filozoficznym, poniewa_ matematyczne prawdopodobieastwa potrzebujZ rzeczywisto[ci, a fizyczne prawdopodobieastwa wymagajZ okre[lenia miar na przestrzeni stanów. Problem ten dostrzegajZ Zeldovich i Starobinski, piszZc: „Nie jest wCa[ciwie jasne w tej

24

Komentarzem do przedstawionej analizy sZ nastLpujZce dwie wypowiedzi Dressa: „musi by\ pewien wkCad ze strony realno[ci fizycznej. By\ mo_e wkCad ten pochodzi od ‘nico[ci’, ale tylko w sytuacji, gdy jest ona wielko[ciZ fizycznZ, a nie nico[ciZ w ogóle” oraz „[…] wiele artykuCów, w tym artykuC Hawkinga i Hartle’a, po[wiLconych ‘kreacji Wszech[wiata z nico[ci’ przyznaje, _e taka struktura jak ‘zerowa trój-geometria’, tj. pojedynczy punkt, nie jest nico[ciZ” (tam_e). Zob. równie_ J. A m b j o r n, R. J a n i k, W. W e s t r a, S. Z o h r e n, (2006), The emergence of background geometry from quantum fluctuactions, arXiv: gr-qc/0607013.

116

JACEK GOLBIAK – MONIKA HERE’

chwili, co znaczy ‘prawdopodobieastwo narodzin zamkniLtego [wiata’ oraz jak to prawdopodobieastwo ma by\ znormalizowane”25. Drees konkluduje: „Istnieje fundamentalna trudno[\ – prawdopodobieastwa w kwantowej teorii osCabiajZ pojLcie nico[ci; tak naprawdL ‘nico[\’ nie jest otwarta na obliczanie prawdopodobieastw”. Dla wyliczenia prawdopodobieastwa jest zakCadana pewna struktura i to, co Hawking i Hartle nazywajZ „nico[ciZ”, nie ma nic wspólnego z rzeczywistZ „nico[ciZ”. Sam J. Hartle, z perspektywy swych pólniejszych analiz, wskazaC na trudno[ci na jakie napotyka koncepcja „bezbrzegowej funkcji falowej dla Wszech[wiata”. Trudno[ci te sZ spowodowane ograniczeniami naszej wiedzy, które ujawnia kosmologia kwantowa. Hartle zauwa_a trzy typy ograniczea wiedzy naukowej w kontek[cie rozwa_aa kosmologii kwantowej. Pierwsze z ograniczea wynika z faktu, _e istnieje zaledwie kilka predykcji prawdopodobieastw, które sZ prawdopodobieastwami warunkowymi na proste teorie dynamiki Wszech[wiata i jego warunki poczZtkowe. Ten typ ograniczea na wiedzL naukowZ jest konsekwencjZ tego, _e nawet proste teorie wymagajZ obliczea, których nie potrafi siL przeprowadzi\. Drugi typ ograniczea to limity implementacji, takie jak mo_liwo[ci obliczeniowe naszych komputerów, a [ci[lej – brak metod obliczania pewnych wielko[ci. Trzeci rodzaj ograniczea teorii jest zwiZzany z mo_liwo[ciami testowania modeli teoretycznych, weryfikacji efektów fizycznych, które w obecnej epoce sZ sCabe. Hartle zauwa_a, _e propozycja bezbrzegowej funkcji falowej jest w technicznym sensie „nieobliczalnZ”. Chodzi o to, _e amplitudL stanu podstawowego mo_na zapisa\ jako caCkL funkcjonalnZ. Problem jednak w tym, _e dla uzyskania wyniku konieczne jest jej obliczenie, co jest ju_ sprawZ bardzo trudnZ i poza kilkoma znanymi przypadkami nie da siL jej wykona\26. 7. Stephen Hawking kontynuowaC rozwa_ania dotyczZce modelu Hawkinga – Hartla we wspóCpracy z L. Mlodinovem, co zaowocowaCo dwiema publikacjami.27 Lektura tych publikacji rodzi pewne zastrze_enia natury filozoficznej, zwCaszcza z obszaru metodologii nauk przyrodniczych28. Ks. Grygiel pisze: „Hawking i Mlodinov twierdzZ, _e teorie fizyczne nie korespondujZ z jakZkolwiek strukturZ obiektywnej rzeczywisto[ci (realizm nauko25

Y.B. Z e l d o v i c h, A.A. S t a r o b i n s k i, Quantum creation of the Universe with nontrivial topology, „Soviet Astronomy Letters” 10 (1984), s. 135-137. 26 J.B. H a r t l e, Scientific Knowledge from the Perspective of Quantum Cosmology, [w]: red. J.L. C a s t i, A. K a r l q v i s t (red.), Boundaries and Barriers: On the Limits to Scientific Knowledge, Reading, MA: Addison-Wesley 1996. 27 S.W. H a w k i n g, L. M l o d i n o v, Jeszcze krótsza historia czasu, Poznaa 2007; c i _, The Ground Design, London–Toronto–Sydney–Auckland–Johannesburg 2010 28 Tre[\ tego punktu rozwa_aa zostaCa opracowana na podstawie artykuCu ks. prof. Wojciecha Grygiela „WspaniaCy Projekt” – Boga czy czCowieka?, „Urania”, 2011, nr 3, tom 82, s. 100-105.

TOPOLOGICZNE I METODOLOGICZNE ASPEKTY MODELI KOSMOLOGII KWANTOWEJ

117

wy), ale sZ jedynie my[lnymi modelami – u_ytecznymi fikcjami, które pozwalajZ organizowa\ i przewidywa\ wyniki pomiarów. Dla umysCu fizyka nie jest dostLpna obiektywna rzeczywisto[\, lecz jedynie jej mentalna reprezentacja”29. Prawo przyrody stanowi zatem jedynie element aparatu teoretycznego, który okazaC siL skutecznym w opisie pewnej klasy zjawisk. Wobec tego dziwne wydaje siL sformuCowanie autorów: „Wszech[wiat jest pojmowalny poniewa_ jest rzZdzony prawami nauki, to znaczy jego zachowanie mo_e by\ modelowane”30. Autorzy popadajZ w sprzeczno[\, poniewa_ „je[li prawa sZ jedynie domenZ struktury teorii, a rzeczywisto[\ fizyczna jest niedostLpna, to nie istnieje _adna mo_liwo[\ wnioskowania, co do wCasno[ci tej rzeczywisto[ci, a w szczególno[ci rzZdzZcych niZ praw”31. Ponadto pytanie o pochodzenie praw przyrody nie ma sensu. Je[li sZ one jedynie domenZ ludzkiego umysCu, to ich poczZtkiem mo_e by\ jedynie czCowiek i jego umysC. „Nie mo_na wiLc mówi\ o racjonalno[ci Wszech[wiata, zawartej w jego prawach, które fizyk odkrywa, ale raczej o apriorycznej racjonalno[ci jego umysCu. WspaniaCy projekt jawi siL wiLc bardziej jako produkt ludzkiej my[li ni_ stwórcze dzieCo samego Boga”32. BCLdem metodologicznym jest równie_ zamienne i arbitralne rozumienie praw przyrody, raz jako obiektywna wCasno[\ [wiata przyrody, a innym razem jako elementy struktury pewnej teorii, modelujZce pewne, wZskie klasy zjawisk. Hawking i Hartle powoCujZ siL na alternatywne wobec równania Schrödingera sformuCowanie mechaniki kwantowej przy u_yciu metody caCek po trajektoriach. Formalizm ten, zdaniem autorów, pozwala zerwa\ z klasycznym zaCo_eniem, wedCug którego Wszech[wiat ma tylko jednZ historiL. „Kwantowy charakter Wielkiego Wybuchu implikuje szereg mo_liwych historii Wszech[wiata. W momencie Wielkiego Wybuchu Wszech[wiat pojawiC siL spontanicznie jako kombinacja wszystkich mo_liwo[ci, rozgaCLziajZc siL pólniej na wszech[wiaty, rzZdzone odmiennymi prawami fizyki. Jest to niewZtpliwie odwoCanie siL do cieszZcej dzi[ w[ród fizyków popularno[ciZ idei wielo[wiata (multiverse). W klasycznie uprawianej kosmologii, gdzie istnieje jednoznaczna historia Wszech[wiata obliczenia prowadzi siL metodZ bottom-up, wychodzZc od stanu wcze[niejszego i obliczajZc parametry stanu pólniejszego. Hawking sugeruje jednak, _e w momencie, gdy przyjmie siL opis Wszech[wiata przy pomocy feynmanowskich trajektorii: «amplituda prawdopodobieastwa znalezienia Wszech[wiata w danym stanie jest liczona jako wypadkowa udziaCu wszystkich mo_liwych historii, 29

Tam_e, s. 105. H a w k i n g, M l o d i n o v, The Ground Design, s. 87. 31 G r y g i e l, „WspaniaCy Projekt” – Boga czy czCowieka?, s. 105. 32 Tam_e. 30

118

JACEK GOLBIAK – MONIKA HERE’

speCniajZcych warunek braku brzegu i koaczZcych siL w danym punkcie»33. Ró_nym aktualnym stanom wszech[wiata bLdZ wiLc odpowiada\ ró_ne kombinacje wspóCtworzZcych historii, co prowadzi do konkluzji, _e historie Wszech[wiata zale_Z od obserwacji”34. Hawking i Mlodinov konstatujZ: „to my tworzymy historiL poprzez naszZ obserwacjL, a nie historia tworzy nas”35. Taka metodologia w kosmologii nosi nazwL top-down cosmology. Zgodnie z tZ metodologiZ nie ma potrzeby poszukiwaa porzZdku poza Wszech[wiatem, poniewa_ w obrLbie olbrzymiej liczby potencjalnych historii Wszech[wiata ludzki akt obserwacji wybiera takZ, która prowadzi do zaistnienia czCowieka na ziemi wraz z jego ewolucjZ aparatu poznawczego. Nadal jednak zostaje nierozstrzygniLte pytanie, skZd siL wziZC multiverse i dziLki czemu jest on taki, jaki jest. Trudno zgodzi\ siL tak_e z tym, by formalizm matematyczny, cho\ by\ mo_e sam w sobie u_yteczny, urósC do roli bycia matrycZ, pierwowzorem powstajZcego Wszech[wiata. Idea wielo[wiata pozwala Hawkingowi ocali\ materialistycznZ wizjL [wiata, w którym nie ma miejsca na racjonalno[\ poza [wiatem (samostworzenie Wszech[wiata). Koncepcja multiverse jest jednak za du_Z cenZ za uratowanie materializmu, co mogZ ilustrowa\ sCowa Andrzeja Staruszkiewicza: „Ja sam uwa_am, _e w koncepcji multiverse mamy do czynienia z czym[ w rodzaju zakCadu Pascala: je_eli jest prawdziwa, to jest caCkowicie bezu_yteczna, je[li jest jednak faCszywa, to jej szkodliwo[\ jest wprost nieskoaczona.”36 Wobec popeCnionych bCLdów natury metodologicznej tym bardziej mogZ dziwi\ sCowa Hawkinga i Mlodinova zwiastujZce „koniec filozofii”: „filozofia nie dotrzymaCa kroku wspóCczesnej nauce, a w szczególno[ci fizyce”37. Na zakoaczenie nale_y wskaza\ na, interesujZcy z punktu widzenia filozoficznego, wZtek dotyczZcy wszystkich kwantowych modeli kosmologicznych postulujZcych kreacjL wszech[wiata ex nihilo. ZakCadajZ one milczZco uprzedniZ obecno[\ samych praw przyrody, które pozwolZ na proces kwantowej kreacji. W przypadku modelu Hawkinga-Hartle’a matematycznym sformuCowaniem prawa, wedCug którego zachodzi kreacja Wszech[wiata, jest formalizm caCek po trajektoriach oraz równanie Wheelera-De Witta, natomiast w przypadku modelu Vilenkina formuCa na tunelowanie przez barierL potencjaCu. Traktowanie uprzed-

33

H a w k i n g, M l o d i n o v, The Ground Design, s. 139. G r y g i e l, „WspaniaCy Projekt” – Boga czy czCowieka?, s. 103. 35 H a w k i n g, M l o d i n o v, The Ground Design, s. 140. 36 A. S t a r u s z k i e w i c z, Koncepcja multiverse zamachem na tradycyjne pojmowanie praw przyrody, [w:] M. H e l l e r, J. M Z c z k a, P. P o l a k, M. S z c z e r b i a s k a - P o l a k, Prawa Przyrody, Kraków–Tarnów: OBI 2008, s. 13-19. 37 H a w k i n g, M l o d i n o v, The Ground Design, s. 5. 34

TOPOLOGICZNE I METODOLOGICZNE ASPEKTY MODELI KOSMOLOGII KWANTOWEJ

119

niej obecno[ci praw przyrody jako „nagiego faktu”, który nie domaga siL _adnego wyja[nienia, jest ju_ mocnZ tezZ o charakterze ontologicznym.

IV. ZAKOuCZENIE

Celem artykuCu byCo sformuCowanie uwag krytycznych pod adresem gCówych programów kosmogenezy kwantowej. Polemika z kosmologiZ Hawkinga-Hartle’a prowadzona byCa w kontek[cie analiz G. McCabe’a, który posCugujZc siL topologicznym pojLciem kobordyzmu, odczytaC model Hawkinga jako opis powstania Wszech[wiata ze zbioru pustego. Przypuszczalnie nie jest to wCa[ciwa interpretacja wyników Hawkinga. Wydaje siL, _e koncepcja punktu obdarzonego „polem skalarnym” bardziej oddaje koncepcjL wyboru warunków brzegowych dla Wszech[wiata w formie zwartej przestrzeni (3-geometrii) bez brzegu. Krytycznie odniesiono siL równie_ do drugiego programu gCównego nurtu kosmologii kwantowej – modelu Vilenkina. Koncepcja Vilenkina bazuje na [cisCej analogii z czZstkZ w studni potencjaCu. Wszech[wiat nie jest jednak czZstkZ, poniewa_ czZstka propaguje siL w zewnLtrznej wobec siebie przestrzeni, natomiast Wszech[wiat jest wszystkim, co istnieje. Oczywi[cie równania opisujZce jego ewolucjL sprowadzajZ siL do równaa Newtona dla czZstki w polu potencjalnym. Fakt jednak, _e równania ewolucji takiego Wszech[wiata redukujZ siL do równaa ruchu dla czZstki, absolutnie nie oznacza, _e ten Wszech[wiat jest czZstkZ. W fizyce jest znanych wiele procesów, czLsto z odlegCych obszarów, które opisywane sZ tymi samymi równaniami, np. zjawisko ruchów Browna mo_e opisywa\ ruch zawiesiny w cieczy, ale tak_e ruch gwiazdy w galaktyce. W obu przypadkach równania sZ identyczne, ale przecie_ gwiazda zawiesinZ nie jest. Pomimo wielu uwag krytycznych pod adresem modeli kosmogenezy kwantowej nale_y podkre[li\, _e sZ one próbZ naukowego wnikniLcia w nieznane obecnie fizyce bogactwo pierwszych chwil istnienia [wiata. „Postawili[my dopiero pierwszy krok, dalsze kroki z pewno[ciZ po nim nastZpiZ. Wa_ne jest jednak to, _e o[mielili[my siL w fizyce postawi\ pytania, które wyglZdajZ jak pytania ostateczne: skZd siL wziZC czas?, skZd siL wziZC [wiat? – pytania, które byCy uwa_ane za raz na zawsze wygnane z obszaru fizyki. Ale ludzki instynkt rozumienia okazaC siL silniejszy ni_ metodologiczne zakazy”38. Kosmologia standardowa (oparta na OTW) daje poprawny opis niemal caCej, trwajZcej miliardy lat, ewolucji Wszech[wiata. Nie wyja[nia poprawnie jedynie bardzo wczesnych etapów 38

M. H e l l e r, Kwantowa kosmologia i ostateczne rozumienie Wszech[wiata, „Problemy”, 1989, nr 2, s. 7.

120

JACEK GOLBIAK – MONIKA HERE’

tej ewolucji. Z tej perspektywy skok od miliardowZ czL[\ sekundy do chwili zero wydaje siL zaniedbywalnym szczegóCem. Tymczasem zawiera on bogactwo, którego dzi[ dostrzega siL zaledwie pierwsze zarysy. „W tych najodleglejszych epokach pojLcia przestrzeni, czasu przestajZ mie\ sens, podobnie jak pojLcia barwy czy twardo[ci przestajZ mie\ sens na poziomie atomów. Mo_na wiLc mówi\ o poczZtku Wszech[wiata, ale pamiLta\ nale_y, _e wyraz ten ma znaczenie o wiele bogatsze ni_ to, do którego przywykli[my”39.

BIBLIOGRAFIA [1] H a r r i s o n E., (2000), Cosmology – the science of the Universe, 2nd edition, Cambridge. [2] H a r t l e J., H a w k i n g S., (1983), Wave Function of the Universe, „Physical Review” D 28, s. 2960-2975. [3] V i l e n k i n A., (1984), Quantum Creation of Uniwerses, „Physical Review” D 30, s. 509-511. [4] H a w k i n g S., (1988), A brief history of time, New York. [5] H a w k i n g S., M l o d i n o v L., (2007), Jeszcze krótsza historia czasu, Poznaa. [6] M c C a b e G., (2004), The structure and interpretation of cosmology, Part I, „Studies in History and Philosophy of Modern Physics”, 35, s. 549-595. [7] M c C a b e G., (2005), The structure and interpretation of cosmology, Part II, „Studies in History and Philosophy of Modern Physics” 36, s. 67-102. [8] M i l n o r J. W., (1969), Topologia z ró_niczkowego punktu widzenia, Warszawa: PWN. [9] L i c k o r i s h W.B.R., (1963), Homeomorphisms of non-orientable two-manifolds, „Proceedings of the Cambridge Philosophical Society”, vol. 59, s. 307-317. [10] R e i n h a r t B.L., (1963), Cobordism and the Euler number, „Topolgy” 2, s. 173-177. [11] W C o d a r c z y k J., (2000), Birational cobordisms and factorization of birational maps, „Journal of Algebraic Geometry”, 9, s. 425-449. [12] ` y c i a s k i J., (1996), Methaphysics and Epistemology in Stephen Hawking’s Theory of the Creation of the Universe, „Zygon”, vol. 31, nr 2, s. 269-284. [13] A s h t e k a r A., B o j o w a l d M., L e w a n d o w s k i J., (2003), Mathematical structure of loop quantum cosmology, arxiv: gr-qc/0304074. [14] H e l l e r M., (2004), Filozofia przyrody. Zarys historyczny, Kraków: Znak. [15] T r a u t m a n A., (1984), Differential Geometry for Physicists, Neapol: Bibliopolis. [16] B o j o w a l d M., (2001), Absence of a Singularity in Loop Quantum Cosmology, „Physical Review Letters” vol. 86, s. 5227-5230. [17] B o j o w a l d M., (2001), Dynamical Initial Conditions in Quantum Cosmology, „Physical Review Letters”, vol. 87 (121301). [18] B o j o w a l d M., (2002), Inflation from Quantum Geometry, „Physical Review Letters”, vol. 89 (261301). [19] K o l b E., (1990), Turner M., The early Universe, Redwood City. [20] T r y o n E.P., (1973), Is the Universe vacuum fluctuation?, „Nature”, 246 (5433), s. 396-397. [21] R e s t i v o S., (1984) The Social Relations of Physics, Mysticism and Mathematics, Dordrecht. 39

G. W r o c h n a, Agnostycyzm a metoda naukowa, [w:] Questiones ad disputandum 6 (MiLdzy wiarZ i niewiarZ. Oblicza agnostycyzmu), red. B. Wójcik, Tarnów: Biblos 2005, s. 17-44.

TOPOLOGICZNE I METODOLOGICZNE ASPEKTY MODELI KOSMOLOGII KWANTOWEJ

121

[22] B a r r o w J., (1995), PoczZtek Wszech[wiata, Warszawa: CIS. [23] D r e e s W.B., (1987), Interpreting of the Wave function of the Universe, „International Journal of Theoretical Physics”, vol. 26 nr 10, s. 939-942. [24] A m b j o r n J., J a n i k R., W e s t r a W., Z o h r e n S., (2006), The emergrnce of background geometry from quantum fluctuactions, arXiv: gr-qc/0607013. [25] Z e l d o v i c h Y. B., S t a r o b i n s k i A. A., (1984), Quantum creation of the Universe with nontrivial topology, „Soviet Astronomy Letters” vol. 10, s. 135-137. [26] G r y g i e l W., (2011), „WspaniaCy Projekt” – Boga czy czCowieka?, „Urania”, nr 3, tom 82, s. 100-105. [27] S t a r u s z k i e w i c z A., (2008), Koncepcja multiverse zamachem na tradycyjne pojmowanie praw przyrody, [w:] M. H e l l e r, J. M Z c z k a, P. P o l a k, M. S z c z e r b i a s k a - P o l a k, Prawa Przyrody, Kraków–Tarnów, s. 13-19. [28] H a r t l e J.B., (1996), Scientific Knowledge from the Perspective of Quantum Cosmology, [w]: J.L. C a s t i, A. K a r l q v i s t (red.), Boundaries and Barriers: On the Limits to Scientific Knowledge, Reading, MA: Addison-Wesley. [29] H e l l e r M., (1989), Kwantowa kosmologia i ostateczne rozumienie Wszech[wiata, „Problemy”, nr 2, s. 7. [30] W r o c h n a G., (2005), Agnostycyzm a metoda naukowa, [w:] B. W ó j c i k (red.), Quaestiones ad disputandum 6 (MiLdzy wiarZ i niewiarZ. Oblicza agnostycyzmu), Tarnów: Biblos, s. 17-44.

SOME OF TOPOLOGICAL AND METHODOLOGICAL ASPECTS OF QUANTUM COSMOLOGY MODELS Summary In this paper we address some critical remarks to two leading models quantum cosmology – Hawking-Hartle model and Vilenkin model. Both models appeal to different mathematical frameworks to reconstract of first moments of Universe ewolution. The first one presents wave function of the Universe using Feynman’s formalism of quantum mechanics — path integrals. The other one shows the beginnig of the Universe as quantum tunneling process. The authors of above mentioned approaches to quantum cosmology claims, that these mechanisms describe creation of the Universe ex nihilo. The main aim of tis paper is to show a weakness of such interpretations. Firstly, Gordon McCabe’s criticism is presented. His analyses are based on topological concept of cobordism. In the second step, we show that the concept of ex nihilo should be rather understood as “zero-pointgeometry” with a material field.

Summarised by Authors SJowa kluczowe: kosmologia kwantowa, kobordyzm. Key words: quantum cosmology, cobordism.

Information about Authors: Rev. JACEK GOLBIAK, Ph.D. — Department of Theoretical Physics at the John Paul II Catholic University of Lublin; address for correspondence: Al. RacCawickie 14, PL 20-950 Lublin; e-mail: [email protected] MONIKA HERE’, Ph.D. — Department of Theoretical Physics at the John Paul II Catholic University of Lublin; address for correspondence: Al. RacCawickie 14, PL 20-950 Lublin; e-mail: [email protected]