Oscylator harmoniczny, wahadło, Słońce – Ziemia (układ dwuciałowy) Oscylator anharmoniczny, Słońce – Ziemia – Księżyc (układ trójciałowy) Oscylator van der Pola (nieliniowe obwody elektroniczne) , atmosfera, Turbulencja, rynki finansowe, ekosystemy
Całkowanie równań różniczkowych (zwyczajnych)
Ewolucja wielu układów opisywana jest równaniami różniczkowymi zwyczajnymi . Numeryczne techniki całkowania tych równań bazują na metodzie Eulera: Algorytm Eulera: Rozpatrzmy równanie I rzędu: Z warunkiem początkowym
𝑦 = 𝑦0 dla 𝑥 = 𝑥0
Algorytm Eulera
• Efektywność/dokładność algorytmu zależy od Δx i od tego na ile uzasadnione jest liniowe przybliżenie w interwałach o długości Δx • Trudno jest ustalić (w ogólności) jak małe musi być Δx aby osiągnąć zadaną dokładność
Przykład: Niech
z warunkiem początkowym
dla
(Ścisłym rozwiązaniem jest y(x)= x2 czyli y(2)=4)
Oblicz y dla x=2
Zmodyfikowany algorytm Eulera 𝑑𝑦
W zagadnieniach postaci 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 użyteczna jest modyfikacja algorytmu, gdzie f(x) obliczane jest w połowie odcinka między 𝑥𝑛 a 𝑥𝑛+1: 𝑦𝑛+1
∆𝑥 = 𝑦𝑛 + ∆𝑥𝑓 𝑥𝑛 + 2
𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 + Δ𝑥
𝑑𝑦
Czy modyfikację tą można zastosować do zagadnień postaci 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥, 𝑦 ?
Ważną rolę odgrywa całkowanie równań różniczkowych drugiego rzędu: 𝑎 = 𝐹(𝑦, 𝑣, 𝑡)/𝑚 (II zasada dynamiki Newtona) Lub równoważnie: 𝑑2𝑦 𝑑𝑦 = 𝐹(𝑦, , 𝑡)/𝑚 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡
Dla równań II rzędu algorytm Eulera można zapisać jako:
Modyfikacje:
(A)
Euler-Cromer (pochodna liczona w tn+1 zamiast w tn) Integrator symplektyczny – zachowuje energię układu
(B)
Euler - Richardson
Problem: Rozważ zagadnienie oscylatora 1-wymiarowego: Niech k=m=1. Znajdź rozwiązanie metodą Eulera w przedziale 0
