Ćwiczenia do wykładu Fizyka Statystyczna i Termodynamika

Ćwiczenia do wykładu Fizyka Statystyczna i Termodynamika Prowadzący dr Agata Fronczak Zestaw 6. Pojęcie mikrostanu. Objętość przestrzeni fazowej. Rozkład mikrokanoniczny; 4.1 Rozważ jednowymiarowy łańcuch przedstawiony na rysunku 1. Oblicz entropię tego łańcucha przy założeniu, że składa się on z N elementów o długości a. Przyjmij, że odległość pomiędzy początkowym i końcowym punktem tego łańcucha wynosi x. x Odpowiedź: S = N k(2 ln 2 − A ln A − B ln B)/2, gdzie A = 1 + oraz Na x B =1− . Na 4.2 Rozważ układ o stałej energii E oraz o stałej liczbie cząstek N . Oblicz liczbę możliwych mikrostanów ∆Γ tego układu. Załóż, że energia układu E ≥ 0 jest skwantowana ∆E = 1. Nie nakładaj żadnych ograniczeń na energię pojedynczej cząstki oraz potraktuj cząstki jako rozróżnialne. Uwaga: Układ analizowany w tym zadaniu jest prototypem modelu Einsteina dla sieci krystalicznej. Odpowiedź: ∆Γ =

¡N −1+E ¢ . E

4.3 Ile wynosi liczba mikrostanów układu rozważanego w poprzednim zadaniu jeśli żadna cząstka tego układu nie ma energii równej zero? Odpowiedź: ∆Γ =

¡ E−1 ¢ N −1

.

4.4 Rozważ układy N niezależnych cząstek i. klasycznych, ii. kwantowych o spinie całkowitym (tj. bozonów), iii. kwantowych o spinie połówkowym (tj. fermionów). Zakładając, że pojedyncza cząstka może przebywać w R stanach jednocząstkowych, oblicz, ile wynosi liczba mikrostanów każdego z wymienionych układów. Wskazówka: Zadanie to można sprowadzić do kombinatorycznego problemu rozmieszczania kul w pudełkach. Cząstki klasyczne należy traktować jako rozróżnialne, natomiast kwantowe jako nierozróżnialne. 1

a

x Rysunek 1: Do zadania 4.1. Odpowiedź: i. ∆Γ = RN ; ii. ∆Γ =

¡R−1+N ¢ ¡R¢ ; iii. ∆Γ = N . N

4.5 Prosty model wymiany ciepła. Rozważ układ składający się z dwóch odizolowanych od siebie części: A oraz B, z których każda zawiera dwie rozróżnialne cząstki. Niech energie podukładów wynoszą odpowiednio EA = 5, zaś EB = 1. i. Oblicz, ile wynosi objętość przestrzeni fazowej opisanego układu ∆Γ(A + B)? ii. Jak zmieni się liczba mikrostanów tego układu, jeśli rozważymy swobodny przepływ energii między A i B? iii. Jakie jest prawdopodobieństwo, że po usunięciu izolacji adiabatycznej energia podukładu A wzrośnie? iv. Jaki podział energii między podukładami A i B odpowiada stanowi równowagi układu A + B? Odpowiedź: i. ∆Γ(A + B) = 12; ii. ∆Γ(A + B) = 84; iii. P (EA > 5) = 7/84; iv. EA = EB = 3.

4.6 Cząstka w jednowymiarowym pudełku. Rozważ cząstkę o masie m zamkniętą w jednowymiarowym pudełku o długości L. Narysuj trajektorię fazową tej cząstki oraz wyznacz liczbę stanów Γ(E) o energii ≤ E. Zbadaj przypadek cząstki klasycznej i kwantowej. √ 2L 2mE Odpowiedź: W przypadku cząstki klasycznej Γ (E) = , gdzie ∆x∆p ∆x oraz ∆p oznaczają niepewności pomiaru położenia i pędu, zaś w przy√ 2L 2mE . padku cząstki kwantowej Γq (E) = h c

4.7 Kwantowa cząstka w dwuwymiarowym pudełku. Wyznacz liczbę stanów o energii ≤ E odpowiadających cząstce kwantowej zamkniętej w dwuwymiarowej nieskończonej studni potencjału o wymiarach L × L. Odpowiedź: Γq (E) =

2πmL2 E. h2 2

4.10 Jednowymiarowy oscylator harmoniczny. Energia klasycznego oscylatora harmonicznego jest równa mω 2 2 1 2 x + p , (1) 2 2m zaś w przypadku kwantowego oscylatora jest opisana wyrażeniem ¶ µ 1 q ¯hω dla n = 0, 1, 2, . . . . (2) E (n) = n + 2 Wyznacz liczby stanów o energii ≤ E dla oscylatorów klasycznego i kwantowego. Porównując otrzymane funkcje Γc (E) oraz Γq (E) pokaż, że objętość elementarnej komórki w klasycznej przestrzeni fazowej ∆x∆p, dla której opis klasyczny jest zgodny z opisem kwantowym, jest równa h. E c (x, p) =

Odpowiedź: Γc (E) =

E 1 2πE , Γq (E) = − . ω∆x∆p ¯hω 2

4.11 Ciepło właściwe sieci krystalicznej - model Einsteina. Energia pojedynczego kwantowego oscylatora harmonicznego jest opisana wzorem µ ¶ 1 ε(n) = n + ¯hω, (3) 2 gdzie n = 0, 1, 2, . . . . Rozważ układ N niezależnych oscylatorów harmonicznych o energii E. Wyznacz temperaturę oraz pojemność cieplną CV tego układu. ¶ N +M , M PN E N N (¯ hω)2 eh¯ ω/(kT ) . gdzie M = i=1 ni = − , natomiast ciepło właściwe CV = ¯hω 2 kT 2 (eh¯ ω/(kT ) − 1)2 Odpowiedź: Temperatura układu jest równa

1 ∂S k = = ln T ∂E ¯ω h

µ

4.12 Model Isinga. Rozważ izolowany układ N niezależnych i rozróżnialnych spinów o energii E umieszczony w zewnętrznym polu magnetycznym H. Każdy spin w badanym układzie może być skierowany w kierunku zewnętrznego pola lub przeciwnie do niego tj. si = ±1. Energia pojedynczego spinu w zewnętrznym polu magnetycznym H jest równa εi = −si µH,

(4)

gdzie µ = const. Oblicz objętość przestrzeni fazowej badanego układu oraz jego entropię. Odpowiedź: Objętość przestrzeni fazowej rozważanego modelu Isinga jest ¶ µ ¡N ¢ N− N+ + N− ln , równa ∆Γ = N+ , zaś jego entropia S = −k N+ ln N N µ ¶ 1 E gdzie N+ = + N oraz N− = N − N+ . 2 µH 3

4.13 Paramagnetyk w rozkładzie mikrokanonicznym. Wyznacz pojemność cieplną CM modelu Isinga rozważanego w poprzednim zadaniu. Wskazówka: tanh x =

Odpowiedź: CM =

ex − e−x ex + e−x , cosh x = . x −x e +e 2

dE N k(µHβ)2 1 = , gdzie β = . dT kT cosh2 (µHβ)

4