Wykład 12 Silnik Carnota z gazem doskonałym

Wykład 12 Silnik Carnota z gazem doskonałym Sprawność silnika Carnota z gazem doskonałym Współczynnik wydajności chłodziarki i pompy cieplnej Carnota z gazem doskonałym RównowaŜność skali temperatury termodynamicznej i skali temperatury gazu doskonałego; bezwzględna skala temperatur

1

Przypomnienie

Ciepło to energia przekazywana przez jedno ciało drugiemu w wyniku róŜnicy temperatur między tymi ciałami

Praca to energia przekazywana przez jedno ciało drugiemu za pośrednictwem siły działającej między tymi ciałami

2

Silnik Carnota z gazem doskonałym zmienne obciąŜenie

N.L. Sadi Carnot 1824 Silnik odwracalny, w którym substancją roboczą jest gaz doskonały. Nie ma tarcia, strat, obowiązuje równanie stanu gazu doskonałego Przemiany w cyklu Carnota z gazem doskonałym:

gaz

gaz

Tg

2→3

1→2

1 → 2. Izotermiczne rozpręŜanie gazu. Gaz pobiera ciepło Qg ze źródła górnego utrzymując stałą temperaturę Tg i wykonuje pracę przesuwając tłok. 2 → 3. Adiabatyczne rozpręŜanie gazu. Gaz wykonuje pracę kosztem energii wewnętrznej. Temperatura spada do Td. 3 → 4. Izotermiczne spręŜanie gazu kosztem pracy zewnętrznej. NadwyŜka ciepła (temperatura jest stała i wynosi Td) jest odprowadzana do źródła dolnego.

gaz

gaz

Td 3→4

4→1

4 → 1. Adiabatyczne spręŜanie gazu kosztem pracy zewnętrznej. Temperatura gazu (i jego energia wewnętrzna) rośnie do Tg. 3

ciśnienie P, kPa

Przemiany w obiegu Carnota z gazem doskonałym:

izotermy

1

adiabaty

Td

1 → 2. Izotermiczne rozpręŜanie gazu. Gaz pobiera ciepło Qg ze źródła górnego utrzymując stałą temperaturę Tg i wykonuje pracę przesuwając tłok.

2 Tg 4 3 objętość właściwa v, m3/kg

Obieg Carnota z gazem doskonałym

2 → 3. Adiabatyczne rozpręŜanie gazu. Gaz wykonuje pracę kosztem energii wewnętrznej. Temperatura spada do Td. 3 → 4. Izotermiczne spręŜanie gazu kosztem pracy zewnętrznej. NadwyŜka ciepła (temperatura jest stała i wynosi Td) jest odprowadzana do źródła dolnego. 4 → 1. Adiabatyczne spręŜanie gazu kosztem pracy zewnętrznej. Temperatura gazu (i jego energia wewnętrzna) rośnie do Tg. 4

ciśnienie P, kPa

Silnik wykonuje pracę przesuwając tłok podczas przemian 1 → 2 i 2 → 3. Otoczenie wykonuje pracę spręŜając gaz w komorze roboczej podczas przemian 3 → 4 i 4 → 1. Praca uŜyteczna jest równa polu powierzchni 12341.

izotermy

1

adiabaty

Td

2

Silnik pobiera ciepło Qg podczas przemiany 1→2, oddaje ciepło Qd podczas przemiany 3→4.

Tg 4 3

objętość właściwa v, m3/kg

Obieg Carnota z gazem doskonałym

V2

V2 NkT g

V1

V1

V3

V3

Q g = ∫ PdV = ∫

V

V dV = NkTg ln 2 V1

NkTd V dV = NkTd ln 3 V4 V4 V

Q d = ∫ PdV = ∫ V4

PoniewaŜ sprawność silnika Carnota:

Qd W Q g − Qd η= = 1− = Qg Qg Qg 5

ciśnienie P, kPa

zaleŜy tylko od stosunku Qd/Qg musimy znaleźć związki łączące objętości V1, V2, V3 i V4. PoniewaŜ dla przemiany adiabatycznej:

izotermy

1

adiabaty

PV γ = const;

Td

2 mamy takŜe:

Tg

NkT γ V = const; czyli V

4

TV γ − 1 = const

Tg V2γ −1 = Td V3γ − 1

3

Tg V1γ −1 = Td V4γ − 1

objętość właściwa v, m3/kg Po podzieleniu stronami:

Obieg Carnota z gazem doskonałym

V Q g = NkTg ln 2 V1 V Q d = NkTd ln 3 V4

V2 V3 = V1 V4

Q d Td ⇒ Qd = Q g = Q g Tg

6

Td Tg

Sprawność silnika Carnota z gazem doskonałym Sprawność silnika Carnota z gazem doskonałym będzie:

Qd Td Tg − Td W Q g − Qd η= = 1− = 1− = , = Qg Qg Qg Tg Tg gdzie Tg jest temperaturą górnego źródła ciepła (grzejnika), a Td temperaturą dolnego źródła ciepła (chłodnicy). Związek pomiędzy Qg i Qd, podobnie jak wzór na sprawność, musi być słuszny dla kaŜdego silnika odwracalnego:

Q d Td . = Q g Tg Jest to ten sam związek, który otrzymaliśmy z rozwaŜań nad silnikami odwracalnymi. 7

Sprawdzian Trzy silniki Carnota współpracują ze zbiornikami cieplnymi o temperaturach: a) 400 i 500 K, b) 600 i 800 K, c) 400 i 600 K. Uszereguj te silniki według ich sprawności, zaczynając od największej wartości.

Zadanie 1 Silnik Carnota pracuje ze zbiornikami ciepła o temperaturach T1 = 850 K i T2 = 300 K. W kaŜdym cyklu, który trwa 0,25 s, silnik wykonuje pracę równą 1200 J. a) Ile wynosi sprawność tego silnika? b) Ile wynosi średnia moc tego silnika? c) Ile ciepła Q1 jest pobierane w kaŜdym cyklu ze zbiornika o wyŜszej temperaturze? d) Jaka energia Q2 jest odprowadzana w kaŜdym cyklu do zbiornika o niŜszej temperaturze? 8

Współczynnik wydajności chłodziarki i pompy cieplnej Carnota z gazem doskonałym Współczynnik wydajności chłodziarki:

β=

Qd Qd Td = = W Q g − Qd Tg − Td

Współczynnik wydajności pompy cieplnej:

β' =

β=

Qg W

=

Qg Q g − Qd

=

Tg Tg − Td

1 1 = = β'−1 β' β'−β'+1 −1 β'−1 β'−1 9

Sprawdzian Chcemy zwiększyć współczynnik wydajności chłodziarki. Czy moŜemy to osiągnąć: a) podnosząc nieco temperaturę komory chłodniczej, b) obniŜając nieco temperaturę komory chłodniczej, c) przenosząc chłodziarkę do cieplejszego pomieszczenia, d) przenosząc chłodziarkę do chłodniejszego pomieszczenia. ZałóŜmy, Ŝe kaŜda z tych operacji wiąŜe się z taką samą bezwzględną zmianą temperatury. Uszereguj te operacje według współczynnika wydajności, zaczynając od jego największej wartości.

Zadanie 2 Silnik elektryczny napędza pompę cieplną, która przekazuje ciepło z zewnątrz budynku, gdzie panuje temperatura -5°C, do pomieszczenia, w którym jest 17°C. ZałóŜ, Ŝe pompa cieplna jest pompą cieplną Carnota (pracuje w cyklu odwrotnym Carnota). Ile dŜuli ciepła doprowadzonego do pokoju przypada na kaŜdy dŜul zuŜytej energii elektrycznej?

10

RównowaŜność skali temperatury termodynamicznej i skali temperatury gazu doskonałego; bezwzględna skala temperatur T = C⋅ P

Punkt potrójny, T3 = 0,01°C ciśnienie = 611,73 Pa

 P   P  T = T3 ⋅   = (273,16 K ) ⋅    P3   P3 

L

Z równania stanu gazu doskonałego:

PV = nRT

T kolba z gazem

g

manometr rtęciowy

Z teorii kinetycznomolekularnej dla gazu doskonałego:

Średnia energia kinetyczna ruchu postępowego cząsteczki a temperatura:

2 mv sr 2 .kw . PV = n N A 3 2

2 mv śr 3 RT 3 .kw . Ek ,sr . = = = kT 2 2 NA 2

Tdt

Wydajność silnika odwracalnego: η = 1 − t gdzie Tt to temperatura termodynamiczna, a Tg T silnika odwracalnego z gazem doskonałym: η = 1 − d gdzie T to temperatura gazu doskonałego. Tg OBIE SKALE SĄ RÓWNOWAśNE:

Tt = T

BEZWGLĘDNA SKALA TEMPERATUR 11