Wyklad 4 statystyka przedzialy ufnosci

Estymacja przedziałowa przedziały ufności Próbę n-elementową charakteryzujemy jej parametrami (np. x , s 2 , s ). Służą one do oceny wartości nieznanych parametrów populacji (m, σ2, σ). Nazywamy je estymatorami punktowymi nieznanych parametrów populacyjnych. Nieznany parametr populacji θ (np. EX=m, D2X=σ2) może być przybliżony przez swój estymator punktowy (np. x , s 2 , s ). Może być też szacowany przy pomocy przedziału ufności. Estymacja przedziałowa polega na konstrukcji przedziału liczbowego, który z określonym z góry (bliskim 1) prawdopodobieństwem (poziomem ufności) będzie zawierał nieznaną wartość szacowanego parametru populacji. Twórcą metody estymacji przedziałowej był statystyk polskiego pochodzenia Jerzy Spława-Neyman (1894-1981). W4 - 1

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Postać przedziału ufności jest następująca:

{g1 ≤ Θ ≤ g 2 },

P = 1−α

Stwierdzamy, że z prawdopodobieństwem 1-α przedział ufności (g1,g2) zawiera szacowany parametr populacyjny Θ. W tym zapisie Θ jest wielkością stałą, choć nieznaną, g1 i g2 zaś są wartościami liczbowymi wyznaczonymi z próby. Są one zmiennymi losowymi elementów próby, statystykami z próby. Wielkość α to poziom istotności (lub ryzyko błędu, że określony na podstawie próby przedział nie zawiera parametru Θ), zaś 1-α to poziom ufności.

W4 - 2

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Dla rozkładu normalnego (nieznane σ2) przedział ufności dla średniej populacji m może mieć postać: m ∈ ( x − tα ,n −1

s n

; x + tα ,n −1

s n

),

P =1−α

Jest to najkrótszy przedział zawierający średnią populacyjną z założonym poziomem ufności. Wartość tα,n-1 odczytujemy z tablic rozkładu t-Studenta. Wartość α jest nazywana poziomem istotności, v=n–1 to liczba stopni swobody. W pewnych przypadkach zależy nam na jednostronnych przedziałach ufności:

m ∈ ( x − t2α ,n−1

s n

; ∞)

m ∈ (−∞; x + t2α ,n−1

s n

)

Długość podanego przedziału dwustronnego dla średniej m wyraża formuła:

d = 2 tα,n−1

s n

W4 - 3

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Zależy nam na tym, by przedział ufności dla wartości średniej m był jak najkrótszy. Możemy osiągnąć to: • poprzez zwiększenie liczebności próby, • zwiększając parametr α, a więc zmniejszając poziom ufności 1–α. W pierwszym przypadku wiąże się to ze zwiększonym nakładem pracy i kosztów, w drugim – ze zwiększeniem ryzyka pomyłki (szacowany parametr nie będzie należał do określonego przez nas przedziału) Jeśli chcemy oszacować parametr z określoną dokładnością d, to po odpowiednich przekształceniach wzorów na przedziały ufności możemy wyznaczyć liczebność próby losowej potrzebną do osiągnięcia zakładanej dokładności 2

d = 2 tα,n−1

s s  ⇒ n ≥  2 tα ,n−1  d n 

Choć n jest zmienną uwikłaną, to tα,n–1 nie zmienia się szybko. W4 - 4

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Podobnie można skonstruować przedział ufności dla populacyjnych charakterystyk rozproszenia: wariancji i odchylenia standardowego. Są one oparte o rozkład χ2 – Pearsona i mają postać:

 var X var X  2 P χ2 ≤ σ ≤ χ2 =1−α  1− α , n −1 2  α2 , n −1   var X var X  =1−α P  χ2 ≤ σ ≤ χ2  α , n −1 1−α , n −1 2  2  Określają one granice losowych (bo zależnych od próby losowej) przedziałów obejmujących nieznaną wartość wariancji i odchylenia standardowego w populacji.

W4 - 5

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Jeśli cecha X ma rozkład dwupunktowy, to jej charakterystyką jest p – wskaźnik struktury (frakcja). Dysponujemy próbą: x1, x2, . . . ,xn, gdzie xi = 1 (‘sukces’) lub xi = 0 (‘porażka’). n k = ∑ X i oznacza liczbę ‘sukcesów’. i =1

k Estymator punktowy frakcji p: pˆ = n Przybliżony przedział ufności dla p:

(pˆ − u

1−α / 2

pˆ (1− pˆ ) n

; pˆ + u1−α / 2

pˆ (1− pˆ ) n

),

gdzie poziom ufności P = 1 – α, a uα jest kwantylem rzędu α rozkładu normalnego N(0, 1) (można go zastąpić wartością t(α, +∞)). Te przedziały ufności (dla p i dla σ2) również mogą być jednostronne.

W4 - 6

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Przykład: Badano stopień rozpowszechnienia telefonów komórkowych w środowisku studentów pewnej uczelni. Stwierdzono, że wśród 600 losowo przebadanych studentów telefon komórkowy posiadało 540 osób. k 540 pˆ = = = 0,9 n 600 t(α, ∞), dla α = 0,05, ma wartość 1,96 (tablice statystyczne, rozkład t – Studenta). Stąd zgodnie ze wzorem:

(

p ∈ pˆ − u1−α / 2

(

p ∈ 0,9 − 1,96

pˆ (1− pˆ ) n

; pˆ + u1−α / 2

0, 9 (1− 0 , 9 ) 600

; 0,9 + 1,96

pˆ (1− pˆ ) n

)

0, 9 (1− 0, 9 ) 600

W4 - 7

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

P = 1−α

) P = 0,95

czyli

p ∈ (0,9 − 0,024 ; 0,9 + 0,024) P = 0,95

p ∈ (0,876 ; 0,924) P = 0,95 Z prawdopodobieństwem 0,95 mamy prawo oczekiwać, że prawdopodobieństwo posiadania przez pojedynczego studenta telefonu komórkowego będzie nie mniejsze niż 0,876, ale nie większe niż 0,924. Z prawdopodobieństwem 0,95 frakcja studentów badanej uczelni, posiadających telefon komórkowy będzie nie mniejsza niż 87,6 % i nie większa niż 92,4 %.

W4 - 8

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Hipotezy statystyczne i ich weryfikacja, testy statystyczne Drugim, obok estymacji (szacowania wartości parametrów lub rozkładu zmiennej losowej w populacji na podstawie rozkładu empirycznego dla próby), podstawowym rodzajem wnioskowania statystycznego jest weryfikacja (testowanie) hipotez statystycznych, czyli sprawdzanie określonych przypuszczeń (założeń) wysuniętych w stosunku do parametrów lub rozkładu populacji generalnej. Hipotezy statystyczne to odpowiednio sformułowane przypuszczenia dotyczące rozkładu populacji. Mogą one mieć różną postać, w zależności od pierwotnych hipotez badawczych. Najczęściej stosuje się hipotezy parametryczne, precyzujące wartości parametrów populacyjnych (gł. średniej, wariancji czy frakcji). W4 - 9

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Weryfikacja hipotezy statystycznej polega na stosowaniu specjalnego narzędzia, zwanego testem statystycznym. Jest to reguła postępowania, która każdej możliwej próbie losowej przyporządkowuje decyzję odrzucenia lub przyjęcia weryfikowanej hipotezy. Istota każdego testu polega na tym, aby uchronić się przed popełnieniem błędu I rodzaju – polegającym na odrzuceniu hipotezy prawdziwej, jak i przed popełnieniem błędu II rodzaju – polegającym na nie odrzuceniu (czyli przyjęciu) hipotezy fałszywej. Hipoteza H0

odrzucenie

przyjęcie

prawdziwa

α

1–α

fałszywa

1–β

β

Jako poziom istotności α wybiera się najczęściej wartość: 0,05, choć można przyjąć dowolną liczbę z przedziału . W4 - 10

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

W teorii weryfikacji (istotnościowych) hipotez statystycznych większe znaczenie przypisywane jest błędowi pierwszego rodzaju. Od testu statystycznego wymaga się, by błąd ten był ‘rzadko’ popełniany. Stąd zawsze narzuca się z góry pewne małe prawdopodobieństwo popełnienia błędu pierwszego rodzaju (poziom istotności, α) — ograniczające występowanie tego błędu. Z testem statystycznym związane jest także pojęcie mocy testu. Mocą testu nazywamy prawdopodobieństwo odrzucenia fałszywej hipotezy zerowej (lub prawdopodobieństwo nie odrzucenia hipotezy alternatywnej H1, gdy w rzeczywistości jest ona prawdziwa). Prawdopodobieństwo to równe jest 1–β. Moc testu to inaczej prawdopodobieństwo nie popełnienia błędu drugiego rodzaju. Im większe jest to prawdopodobieństwo, tym lepszy jest dany test jako narzędzie do W4 - 11

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

decydowania między hipotezą prawdziwą i fałszywą. Test statystyczny może być słaby lub mocny: •

•

test mocny - w większości przypadków jesteśmy w stanie odrzucić fałszywą hipotezę zerową test słaby - gdy istnieje duża szansa na to, że nie odrzucimy hipotezy zerowej, pomimo jej nieprawdziwości.

Od testu powinniśmy wymagać, by był on jak ‘najmocniejszy’, tzn. by jak najłatwiej odrzucał hipotezę zerową, jeśli jest ona nieprawdziwa. Test mocny: 1. rzadko myli się odrzucając H0 (raczej nie odrzuca H0 prawdziwej). Ustalane jest to za pomocą poziomu istotności 2. prezentuje mały błąd II rodzaju (β), czyli jeśli odrzuca H0, to jest wysoka W4 - 12

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

szansa (równa mocy testu), że H0 była fałszywa. Wszystkie omawiane na wykładzie testy to testy w pewnym sensie najmocniejsze. Hipoteza o średniej populacyjnej Niech populacja generalna ma rozkład normalny N(m,σ2), przy czym oba parametry są nieznane. W oparciu o n – elementową próbę losową należy zweryfikować hipotezę zerową H0: m = m0, wobec hipotezy alternatywnej H1: m ≠ m0 Dla weryfikacji tej hipotezy zerowej stosujemy test t – Studenta, który daje nam wartość statystyki temp obliczonej z próby:

temp

x − m0 x − m0 = n= s sx

Symbol sx oznacza średni błąd średniej równy S / n0,5. W4 - 13

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Jeżeli zajdzie nierówność │temp│ ≥ tα,n-1, to hipotezę H0 należy odrzucić na korzyść hipotezy alternatywnej H1. Gdy zajdzie nierówność przeciwna, tzn. │temp│ < tα,n-1, to nie mamy podstaw do odrzucenia hipotezy H0, czyli przyjmujemy ją. Jeśli cecha X ma rozkład N(m;σ2), to hipoteza zerowa: H0: m=m0 może być testowana różnie, w zależności od postaci hipotezy alternatywnej H1.

Hipoteza Funkcja alternatywna testowa H1: m > m0

temp =

x − m0 sx

H1: m < m0

temp =

x − m0 sx

H1: m ≠ m0

temp =

x − m0 sx

Obszar krytyczny

(t ;+∞) (−∞;−t ) 2α , n −1

2α, n−1

(−∞; −t )∪ (t α, n−1

α ,n −1

;+∞ )

Dwa pierwsze przypadki to hipotezy (i testy) jednostronne. W4 - 14

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Przykład Interesuje nas, czy średnia masa netto kubeczka jogurtu wynosi 200g. Pobieramy próbę prostą liczącą 20 kubeczków i określamy masę netto (np: x1=191g , x2=215g , x3=201g ,... , x20=189g ). Dla hipotetycznej 20–elementowej próby przyjmijmy następujące wartości statystyk: średnia z próby 197,6, odchylenie standardowe w próbie wynosi 6. temp

x − m0 = s

197,6 − 200 n= 20 = −1,788 6

t 0, 05,19 = 2,093

Dla hipotezy alternatywnej H1: m ≠ m0 wartość bezwzględna z temp=1,788 nie wpada do obszaru krytycznego (|temp|>tα,v 1,788 nie jest wieksze niż 2,093) więc: na poziomie istotności 5% nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy o tym, że średnia masa netto wynosi 200g.

W4 - 15

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Gdybyśmy wykonywali test na poziomie istotności 10%, wtedy t0,1,19=1,73, czyli warunek odrzucenia (|temp|>tα,v) jest spełniony. Wtedy odpowiedź byłaby: na poziomie istotności 10% odrzucamy hipotezę zerową o tym, że średnia masa netto wynosi 200g na rzecz hipotezy alternatywnej, że nie jest równa. Załóżmy, że hipotezę tę stawia biuro obrony konsumenta pod wpływem doniesień o zbyt małej wadze netto. Wtedy hipoteza zerowa ma postać H0: m = m0 a alternatywna H1: m < m0, tzn albo waga jest prawidłowa albo za mała. t2*0,05,19=1,73 więc na poziomie istotności 5% odrzucamy hipotezę zerową o tym, że średnia masa netto wynosi 200g na rzecz hipotezy alternatywnej, że średnia masa jest mniejsza.

W4 - 16

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Hipoteza o struktury p

wartości

wskaźnika

Zmienna losowa dwupunktowa, zero – jedynkowa. H0: p = p0 (H1: p ≠ p0) Statystyka empiryczna zemp = gdzie pˆ =

pˆ − p0 p0 (1− p0 ) n

k n

Jeśli │zemp│ ≥ u1–α/2=tα,∞, to hipotezę H0 należy odrzucić na korzyść H1. Natomiast, gdy │zemp│ < tα,∞, to nie mamy podstaw do odrzucenia hipotezy H0 (czyli merytorycznie uznajemy ją za prawdziwą).

W4 - 17

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Przykład: Zweryfikujmy na poziomie istotności α = 0,05 przypuszczenie, że wskaźnik wyposażenia studentów pewnej uczelni w laptopy jest równy 0.4, jeśli w losowej próbie 800 studentów fakt posiadania laptopa zadeklarowało 350 osób. k 350 pˆ = = = 0,4375 n 800 H 0 : p = 0.4 z emp =

zemp =

0,4375 − 0,4 0 , 4 (1− 0 , 4 ) 800

pˆ − p0 p0 (1− p0 ) n

= 2,165

Ponieważ t(0,05, +∞) = 1,96 to odrzucamy hipotezę zerową o tym, że frakcja w populacji wynosi 40% (H0: p = 40%) na korzyść hipotezy alternatywnej, że frakcja jest inna niż 40% (H1: p ≠ 40%) przy przyjętym poziomie istotności równym 5%. W4 - 18

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Można zaproponować jako alternatywną hipotezę jednostronną, np. H1: p > 0,4, ale zmiana ta wpłynie na przebieg testowania porównanie jednostronne z u1–α czyli t2α,∞.

Hipoteza alternatywna

Obszar krytyczny

H1: p > p0

(u1–α, ∞)

H1: p < p0

(–∞,u1–α)

H1: p ≠ p0

(–∞,u1–α/2) ∪ (u1–α/2, ∞)

Hipotezy o wartości parametru a przedziały ufności dla tego parametru Dla zadanego poziomu istotności α hipoteza o tym, że badany parametr populacyjny wynosi x, jest odrzucana wtedy i tylko wtedy, kiedy x nie należy do przedziału ufności skonstruowanego na poziomie ufności 1–α. W4 - 19

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com